Soient
les deux valeurs de -j- tirées de l'équation L = o ; M et M,
seront des fonctions connues de a, [S.
Nous verrons dans le Calcul intégral qu'on peut trouver pour ji une expression fi = cp (a) qui satisfasse identiquement à l'équation différentielle (6) et qui, de plus, se réduise à [j,, pour a = ao^ les constantes ao et j^o pouvant être choisies à volonté.
Gela posé, substituons ^ = C2(a) dans les équations
X sz^ a -\- ht^ y z=z a^-t bit, z ^= a^~{- bit
des génératrices de la congruence. Ces équations, ne contenant plus qu'un seul paramètre a, représenteront une surface réglée, dont les génératrices font partie de la congruence; cette surface est développable, car, l'équation (6) étant une conséquence de l'équation p = cp(a), on aura /> = o pour deux génératrices voisines prises sur cette surface. Enfin, cette surface contient la génératrice correspondant aux valeurs j3 = ^07 ^ = ^0 <^^s paramètres variables.
La considération de l'équation différentielle (7) donnerait une seconde surface développable jouissant des mêmes propriétés que la première.
On aura donc ce théorème :
Une droite quelconque D de la congruence fait partie de deux surfaces développahles, formées de droites de la congruence.
On doit remarquer toutefois que ces surfaces n'auront
d^ d'existence réelle que si les valeurs de -7^ déduites de l'équa- ^ aa ^
tion L = o sont réelles.
La droite D est tangente à l'arête de rebroussement de chacune des développables dont elle fait partie. Mais ces arêtes de rebroussement sont évidemment situées sur les surfaces focales; on a donc cette proposition:
Toutes les droites de la congruence sont tangentes à chacune des surfaces focales.
On nomme plans focaux les plans menés par D et respectivement perpendiculaires aux lignes E de plus courte distance correspondant à ses deux foyers. Ces plans sont tangents aux deux développables qui se croisent suivant la droite D.
On a vu, en effet, que, dans une surface réglée quelconque, le plan tangent en un point situé sur une génératrice D à une distance :; du point central fait, avec la perpendiculaire E, un angle V donné par la formule
tangVr=^;
dans une développable, où /> =: o, tangV sera infini et V sera droit.
499. Pour nous rendre un compte plus exact de la distribution autour de D des droites de la congruence qui en sont infiniment voisines, prenons cette droite pour axe des ^, en nous réservant de disposer ultérieurement de la position de l'origine, ainsi que de l'orientation du plan des xz.
Supposons, en outre, qu'on prenne z pour variable indépendante, on aura constamment <22 = o, 62=1, d'où da2= db2=^ o. En outre, D ayant pour équations ^ = o, y z=z o^ z^= t^ on aura, pour cette droite.
Portons ces diverses valeurs dans les formules générales ; il viendra
db da^ — dadb^,
da
db
dai
db.
~~db.
da
db
da.
sjdb
''-\-db\
dadb -\- daidbi,
db
\fdb^-^db\
et
^Q^ ^ dadb -^ daxdby dbda, — dadb, ^^^ db^-\-db\ ' P~ db'--\-db\
Enfin, le déterminant (4) se réduira à
db db doi d^ ""
db, db, d^ d^ ^ o o I
db db
dy. d'^ db, db, dy. d^
D étant supposée une génératrice ordinaire, ce déterminant ne sera pas nul. On pourra donc des équations
db db
dy. (^p '
„ db, , db, ,„
déduire l'expression de dcL et d'^ en fonction linéaire de db et db^.
Les quantités da^ da, , étant des fonctions linéaires de <ia, d^j deviendront des fonctions linéaires de db^ db,, telles
que
da ^-Pdb -hQdb,,
dai=V,db-\-Qidb,.
On aura, par suite,
Pdb'^^{P,-^Q)dbdb,~i~Q,db\ ~ db' -+- db?, '
V,db^-\- {Q,— P)dbdb,— Qdb\ db'~\-db^
Soit d'ailleurs ^ l'angle que la plus courte distance forme avec l'axe des y. On aura
X = sin(|>, Xi=:cos4^, X2=o,
d'où
langt|;=i ^
db
Les valeurs de z correspondaiiL aux points principaux s'obliendront en cliercliant le maximum et le minimum de T. On sait qu'il faut pour cela poser les équations
(9) 2 P ^Z> 4- (P, -H Q) db^ ^ 2[x db — o,
(10) ( P, -f- Q ) ^^ -f- 2 Qi db, H- 2 [i. db, ■- o,
d'où
(II
2 P + 2 ;x Pi + Q
Pj + Q 2Qi-h2|X
Cette dernière équation donnera au signe près le maximum et le minimum cherchés. Les précédentes donneront la va-
leur correspondante de -j,~ = — tangy.
Supposons maintenant que nous ayons pris pour plan des zy Tun des plans principaux, et choisi l'origine à égale distance des points principaux. On devra avoir un maximum
, ,. , db, • ' 1 •
ou un minimum pour 'li = o. a ou —7— =- o, ce qui ri'duira '- ' <:/<> '
l'équation (to) à
L'équation (1 1) se réduira à
el, ses racines devant être égales et opposées, on aura
Faisant donc P, -- — Q, Qi — — P, -,— ■■= — tang']; dans les formules, il viendra
(12) T:=:P ^~^^"g''| z=PcOS26,
j -h taiig"-^t^
2 2P tangJ; — Q(j -+- tan^-'I') r» . , r\ (i3) /?= ^-^ ^^n ^^-— = P siii2tL — Q.
oOO. On déduit de ces formules des conséquences importantes :
i" T est maximum ou minimum pour '1 = 0 e[ 'h = 9^" 5 d'où cette conséquence :
Les deux plans principaux sont rectangulaires. 2" p s'annule pour sin2'i; = tj? d'où
Ces deux valeurs étant égales et de signe contraire, et moindres que P, on aura ce résultat :
Les foyers sont situés entre les points principaux, à égale distance du milieu de la droite qui les joint.
Les foyers seront d'ailleurs réels ou imaginaires, suivant que P sera >> Q ou << Q en valeur absolue.
3" L'équation sin2'i;= ^^ a deux racines : 'i>o et - — 'i>y.
Les plans focaux auront pour azimut - -f- ^o et t: — ']>(,. On
voit donc ç^ils font des angles égaux avec les plans principaux.
4" Si Q = o, les foyers et les plans focaux seront réels et se confondront avec les points et les plans principaux. Les plans focaux seront donc rectangulaires.
Réciproquement, si ces plans sont rectangulaires, on aura
d'où '%=; o et, par suite, Q = o, et les autres propriétés ci dessus auront lieu.
