Les plans focaux ont pour équation
y /tt . ttX , sin2<^
•- =:tang - — .^+ - =- tang^r=
X \2 2/ I-hC0S2'^
ou
et seront distingués l'un de l'autre par le signe du radical.
Soit, d'une part, D, une droite de la congruence infiniment voisine de D ; elle aura pour équations
œ^=ida -\~dbt r^da ^-dbz := {z ^P)db-^ Qdb^, y — dûi-i- db^t ^dai-{- dbiZ^— Q db-{- (z — P) dbi.
Elle rencontrera le plan focal (i4) en un point dont le z est déterminé par l'équation
— Qdb-i-{z-~P)db, Q
{z^P)db -\-qdb,
Pztv/P' — Q'
Or, cette équation est satisfaite, quel que soit le rapport -jj, en posant ;s == dz y/P- — Q-.
Cette équation, jointe à l'équation (i4)) représente une perpendiculaire à D menée dans le plan focal et passant par le foyer. Cette perpendiculaire a reçu le nom de droite focale.
On peut donc énoncer cette proposition :
Les intersections d'une génératrice quelconque D^ , infiniment voisine de D, avec les plans focaux, sont situées sur les droites focales (aux infiniment petits du second ordre près).
502. Il nous reste à étudier la distribution autour de D des droites infiniment voisines, lorsque D est une génératrice singulière.
Dans ce cas, le déterminant
db db,
âoL
âb
âb,
étant nul, le rapport des quantités
J7 àb , db ,db =z -— doi -h -YK «p, (/a dp
,, âbi , âbi „ dbi=-^dcc-i--—- d^
ne dépendra pas du rapport -j-- On aura do
ne
d'où
db, tang<]> — — — — = const.,
^ =r const.
On pourra orienter les axes coordonnés de telle sorte que l'on ait tj; = o, d'où dbi = o.
Les formules (8) deviendront alors
da db
da.
Si le déterminant (i5)
~d^ If db db doL d?
n'est pas nul, on pourra déduire des équations
,, db , db ,„ (i6 = -— t/a -h — - <^p (^a dp
les valeurs de c/a, d^ en da, et en db. Substituant dans la
valeur de da= 3~ ^^ ~^" 3ô" ^?î ^^ trouvera une équation
de la forme I da = Pdai-^Qdb
et, par suite,
db i- ^
On peut d'ailleurs, en déplaçant l'origine de la quantité Q, faire disparaître le second terme de cette expression. On aura donc les deux relations
'h — O, T =: Pp.
Les génératrices infiniment voisines de D auront pour
équations
X z= da -^- dbz = P da^ -\- dbz,
y = da^ -\- dbx z =: da^ .
Ces génératrices sont donc parallèles au plan des xz. Celles pour lesquelles dai^ = o sont dans ce plan lui-même et rencontrent la droite D à l'origine des coordonnées. Celles pour lesquelles «?6 = o sont parallèles à D. Ce cas diffère donc de celui des génératrices ordinaires en ce que l'un des foyers est rejeté à l'infini, l'autre étant à l'origine des coordonnées.
Enfin, si le déterminant (i 5) est nul, -y,- ne dépendant plus
du rapport -j--, on aura les deux relations
^■=0^ /; r= const.
Désignons par P le rapport constant -—- Les génératrices infiniment voisines de D auront pour équations
X =r da 4- dhz^ y=,Pdb, V
et aucune d'elles ne coupe plus D à distance finie, mais celles pour lesquelles db =^ o lui sont parallèles.
503. Troisième cas : Complexes. — On a, dans ce cas, trois paramètres : a, ^, y.
Soit D une droite du complexe. En la choisissant pour axe des z et prenant z pour variable indépendante, on pourra réduire ses équations à la forme
et celles d'une droite D, , infiniment voisine, à la forme z-=zt, œ r=i da -{- dbz, y =ida^-\- db<^z,
da^ dh^ . . . étant linéaires en da.^ d^, <iy.
Supposons d'abord queD soit une droite ordinaire, c'està-dire telle que l'on n'ait pas simultanément
db '
âb, â^ âb à?
âb, à-:
âb â^
Les deux équations
„ âb
âb
db ^= --— doc H- — <:/3 -1- — dy, ây. â^^ ^ 6'Y
,, âb^ âbi âb^ .
dbi = — - <ix + -— - d^ -f- — -! dy (Jy. â? â';
permettront d'exprimer deux des quantités doi^ d[j, dy^ par exemple dca et d^^ en fonction linéaire de db, db^, dy. Par suite, da^ da^ deviendront des fonctions linéaires de db^ db^ , dy, telles que
da ^P db-]~Q db,~r-?v dy, da,~V, db i- Q 1 db 1 H- Rj d-r.
Si l'on pose, en particulier, db ~- db^ = o, ces équations se réduiront à da —Kdy, da^ — R^o^y, et D,, ayant pour équations
^z=R^/y, r=:Ri<^Y,
sera parallèle à D.
Supposons le plan des zy orienté de manière à contenir une des droites parallèles à D; on devra avoir R = o.
Cela posé, entre les formules
dadb-\- da^db, dbda^~dadb^
- db^^db] ' ^' - db-'^dbi ~'
éliminons (fa i, il viendra
T db —p dh^ — da — Vdh-^Çl db,
ou
T — ? + (/? + Q)tang4/=:o,
ou enfin, en déplaçant l'origine sur l'axe des z de la quantité P, ce qui changera T en T + P,
T+(/?4-Q)tangt|; = o.
504. Si D était une droite singulière, le rapport -jj- étant indépendant de <ia, d'^^ <^y, on aurait la relation plus simple
tang<]^ =: const.
