Considérons une surface, définie par les équations
La valeur principale ds de la distance des points {u^ v) et {u -t- du^ ç -i-dç) sera donnée (156) par la formule
d.s' = M da^ -f- 2 N da di> -{- P dv^,
D'autre part (156-157), l'élément de surface compris entre les courbes w, u -+- du, (^, (^ 4- dv est sensiblement un parallélogramme, et 6/cr, valeur principale de son aire, est donnée par la formule
ou
d7 t=i v/^2 -^-B-'-^C^du dç,
ou ôv du ôv ' du ôv du dv ~ Ou ôv Ou ai'
506. Plan tangent et normale, — L'équation générale d'un plan
aX + 6 Y -t- CZ H- <i r= G
contient trois paramètres, dont on peut disposer pour établir un contact du premier ordre avec la surface en un point donné (^, y^ z).
On devra pour cela satisfaire aux équations
o = *(^^ v) = ax -\- by -^cz -\- dy
d^ dœ , dy dz
au du ou ou
d^ âr , ây âz
0=:-— =CL-:^ \-b-f-hC-j-'
o^> ov dv dv
On déduit de ces équations
a{X-x)-i-b{Y-y)-}-c{Z-z)=^o; éliminant ensuite a, b^ c, on aura l'équation du plan tan-
dx du
dy du
dz du
dx
dy
dz
dv
^A{X — x)-hB{Y—y)-{-C{Z — z).
La normale, perpendiculaire au plan tangent, sera donnée par les équations
o07. Ces formules se simplifient, mais en perdant leur svmétrie, si l'on suppose que x cl y aient été pris pour variables indépendantes.
Il est d'usage, dans ce cas^ de représenter d'une manière
5oO PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
abrégée les dérivées partielles
à2 àz d^z d'z â'z
dx^ 6^K ' ôx'^ ' dx ây ôf^
par les lettres/?, q, r, s, t.
Posant donc dans les formules précédentes x = u, y =
d'où
âx âr âv __ à y
au ' ai' ~~ ^ au ' (^i' '
âz dz dz dz j j j
du dx ^ dv dy ^ ^ ^ ^
il viendra
<^5^ = ( I 4- if-) dx- h ipq dx dy ^ {i -\- q'^) dy^,
d^ ^=^sj i ~\- p- + q'-dx dy.
L'équation du plan tangent deviendra
Z-z:=.p{X-x)-^-q{Y-y\ et les équations de la normale
Enfin, si :; est une fonction implicite dafinij par Téqua-
tion
oiî aura
dx
dz
dr ~ di^ '
dz
et les formules prendront la forme suivante : Équation du plan tangent,
dx ^ dy ^ dz ^ '
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 5oi
Equations de la normale,
ÔJO ây dz
o08. Indicatrice. — Proposons-nous de nous rendre compte de l'allure de la surface aux environs d'un de ses points.
Prenons ce point O pour origine des coordonnées et la normale à la surface pour axe des z. L'ordonnée ^, développée suivant la formule de Maclaurin, aura pour expression
il désignant un ensemble de termes d'ordre supérieur au second. (J^es termes d'ordre o et i manquent, car, l'origine ('■tant sur la surface et le plan des xy lui étant tangent, z et ses dérivées premières devront s'annuler pour j? = o, j' = o.) Nous pouvons d'ailleurs disposer de la direction des axes OX, OY de manière à faire disparaître le terme en xy. On aura alors simplement, en négligeant les termes du troisième ordre,
(.) z^\^ax^^^cy').
Si, dans cette équation, nous substituons successivement à z une série de valeurs très petites, nous obtiendrons une série de courbes de niveau de la surface proposée ; ces courbes seront toutes semblables à la suivante :
«x"2-f- cy^
laquelle porte le nom (\^ indicatrice.
Supposons d'abord « et c de même signe {fig- 21). Les courbes de niveau seront de petites ellipses, réelles lorsque z a le même signe que a et c, imaginaires lorsqu'il est de signe contraire. La surface est donc située tout entière du même
côté de son plan tangent, et n'a qu'un seul point commun
avec lui.
Fig. 21.
Si a et c sont de signes contraires {fig- f^a), les courbes de niveau sont approximativement (dans le voisinage de l'ori-
Fiar. 22.
gine) des hyperboles, ayant pour asymptotes les deux droites définies par l'équation
ax'^-\- cf^^=i o.
Le plan tangent coupe la surface suivant une courbe se confondant, dans le voisinage de l'origine, avec ces deux asymptotes. Les plans parallèles situés au-dessus donnent pour sections des hyperboles telles que H, les plans situés en
APPLICATIONS GÉ03IÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 5o3
dessous, des hyperboles K. tournant leur convexité aux premières.
Enfin, dans le cas de transition où a ou c sont nuls, les courbes de niveau sont formées de deux droites parallèles. On dira, dans ce cas, que O est un point parabolique de la surface.
509. Courbure des lignes tracées sur une surface. — Considérons maintenant une ligne L tracée sur la surface et passant par le point O, et proposons-nous d'évaluer sa courbure en ce point.
Menons le plan osculateur au point O à la ligne L; soient {^fig- 23) Y l'angle de ce plan avec l'axe des z\ o l'angle de
Fie. 23.
sa trace OQ sur le plan des xy avec l'axe OX. Soient enfin
M un point de la courbe infiniment voisin de O;
^, j^, z ses coordonnées ;
P et N ses projections sur le plan OXY et sur la droite OQ;
k la courbure cherchée.
La droite OQ étant tangente à L au point O, on aura, par une formule connue.
MN = iAOM^
d'où
