CHAPITRE

95. Le cas le plus intéressant de cette analyse est celui où m = n. Dans ce cas, pour que les n fonctions iii, . . ., u,i soient distinctes, il faut et il suffît que le déterminant

Jr=:

Ml-

àfr^

dx„

ne soit pas identiquement nul.

Cela équivaut évidemment à dire que les différentielles totales

^f^ rir ^ -4- ^^' ^r

f-dx, âxi

.-i-^/^dx,, àxn

sont linéairement distinctes.

Le déterminant J se nomme le jacobien des ii fonctions Wj, . . ., Un par rapport aux variables X\^ . . ., Xn-

On le représente souvent par la notation

, Un)

d{xi, ...,x„)

afin de rappeler qu'il joue dans la théorie de ce système de fonctions un rôle analogue à celui de la dérivée dans celle des fonctions d'une seule variable. Voici quelques exemples de ces analogies :

1° Supposons que ^,, ..., ^«, au lieu d'êtra indépendantes, soient elles-mêmes des fonctions de nouvelles variables jKn • • '■> y/n définies par des équations

^i — 'fiiyu •■•yfn)-

Les fonctions

deviendront, par la substitution de ces valeurs, des fonctions

de 74, . . ., yn, telles que et l'on aura évidemment

Le déterminant

d{Uy, . . ., Ug)

formé avec les éléments -^j est évidemment le produit des deux déterminants

àA dxa

__ d{Ui, . . ., Un)

àfn

~' d{Xi, .. .,x„)

ày\

d{Xi, . . .,Xn)

àyn

~ à{yi, ...,/«)

On a donc

. . . , Il

d{Ui,

. . ., Un) d{x^, . . .

à{yiy ...,7«) à{xi, ...,Xn) à{yu ...,/„)

Supposons, en particulier, que les variables œ soient exprimées en fonction des variables u, de telle sorte que y,, . . ., y,i se confondent avec w,, . . ., Uw La formule précédente deviendra

d{Ui, . .., Un) d{x^, •..,x„)

à{Xi, ...,x„) d{u^, ..., Un) Les formules (9) et (10) sont la généralisation évidente de

celles qui donnent la dérivée d'une fonction de fonction ou d'une fonction inverse.