Lignes asymptotigues. — Continuons à désigner par

l'équation du plan tangent à la surface au point {x,y^ z, u, ç). Les coordonnées x -\- ^x, y + ^y, ^ + As d'un point infiniment voisin satisferont à cette équation au second ordre près. 11 existera néanmoins deux directions (les asymptotes de l'indicatrice) suivant lesquelles elles y satisfont jusqu'au troisième ordre près. Pour déterminer ces directions, substituons dans le premier membre de l'équation les valeurs des coordonnées

J + AjKrr=7 + ^j H-i^2y 4-...,

Dans le résultat de la substitution, les termes du premier ordre

A. dx -}- B dy -h C dz

s'annulent identiquement. Ceux du second

KAd'x -h B d\y ~h C d'-z) â-x

|A(£^rf«'

du ai'

du dç

dç^

étant égalés à zéro, donneront une équation du second degré dv

pour déterminer

Soit M"(J;(w, v) l'une des racines de cette équation. On pourra trouver une fonction ç = c^(^u) satisfaisant à l'équation différentielle

du=^'

5l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

et qui se réduise à Vq pour u = Uq^ Uq et (^o étant des constantes choisies à volonté.

La courbe définie par l'équation ç =: o(^u)^ jointe aux équations de la surface, satisfera en chacun de ses* points à l'équation différentielle précédente; elle sera donc tangente en chaque point aux asymptotes de l'indicatrice.

Les courbes ainsi définies se nomment lignes asyinptotiques. Par chaque point de la surface (wq, ^o)? ^1 en passe

évidemment deux, réelles ou imaginaires, correspondant aux

dv deux racines de l'équation en —•

Si x^y sont pris pour variables indépendantes, on aura

d^ 00^=^0, d''y=zo,

et l'équation différentielle des lignes asymptotiques se réduira à

o =id'^zr= r dx^ 4- s dx dy -\- t dy"^.

523. Appliquons les théories qui précèdent à quelques exemples.

Surfaces de révolution. — La tangente au parallèle étant évidemment perpendiculaire au plan méridien, la normale sera située dans le méridien. Les normales en deux points consécutifs se couperont donc si ces deux points sont dans le même méridien. Elles se couperont également si le déplacement a lieu le long d'un parallèle, car il est évident que les normales à un même parallèle forment un cône de révolution autour de l'axe.

Les lignes de courbure seront donc les méridiens et les parallèles.

524. Suif aces développahles. — Elles sont, par définition, l'enveloppe d'un plan mobile, dont l'équation contient un paramètre variable a. Soit

(l5) ^=/(a)^ + cp(a)ji' + tl;(a)

l'équation de ce plan. Celle de la surface s'obtiendra en

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 5lJ

considérant a comme variable et défini par l'équation (l6) /(a)^ + <p'(a)/-f-4.'(a)=zo.

Le plan (i5) étant tangent à la surface, on aura A=r/(a), B=.cp(a), C = -i.

L'équation des lignes de courbure sera donc

dj, /(a) /(«)^a df cp(a) cp'(a)Ja dz — I o

Cette équation contenant da. en facteur, l'une des séries de lignes de courbure sera donnée par l'équation dc(.= o, d'où a =: const.

Mais les points de la surface pour lesquels a a une valeur déterminée sont ceux de la génératrice suivant laquelle elle touche un même plan tangent. La première série des lignes de courbure sera donc formée des génératrices; la seconde sera formée des lignes qui coupent ces génératrices à angle droit.

On remarquera que, dans les surfaces développables, tous les points sont paraboliques, car les normales sont parallèles entre elles le long d'une même génératrice. C'est d'ailleurs ce qu'exprime l'équation aux dérivées partielles de ces surfaces trouvée au n° 182.

o25. Ellipsoïde. — On a

d'où

œdœ ydy zdz ^'^^ a^ -"' 6^ -^ c^ "

1 dx cû- 2 ây 6-'

làF z

2 CÛ ^C^'

5l8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

L'équation des normalies développables sera donc , X dx

z dz

ou, en chassant les dénominateurs et effectuant les calculs,

( a^ — c^ )/ dxdz^{ b^' — a'-) z dy dx -^ { c"- — h'^)x dz dy = o,

ou, en multipliant par z et substituant à ^- et 2 dz leurs valeurs tirées de (17) et (18),

[ x dx

0 = [(«2— c«)/ dx + (c^— b'-^xdyY-

(b'—a'-)dxdyc'-{i-^-^

= — ( «^ — c^ ) ^y dx'^ — Ti^^^ — ^" ^ ^y ^y'

ydy h"-

^ — a?-) dx dy

ou, en divisant par — (a- — c^) et posant, pour abréger,

o = ^j <^-3?^ — M ^/ (ix^ — ( ^-2 — M72 N ) <^^ <:/j.

On obtiendra les ombilics en écrivant que cette équation devient identique.

Or, si z n'est pas nul, dx et dy sont indépendants l'un de l'autre, car ils ne sont liés que par l'équation (18), qui contient l'indéterminée dz. On aura donc séparément

d'où

xy ^=. o 7 = 0,

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. SlQ

OU bien

^ = o, d'où

Enfin, pour ^ r=; o, on obtiendra, par raison de symétrie, quatre nouveaux ombilics, en posant

On voit immédiatement que, sur ces douze ombilics, il y en a quatre réels. Ce sont les quatre premiers, si l'on suppose, pour fixer les idées, a >> ^ >> c.

Ce sont les points de contact des plans tangents parallèles aux sections circulaires. Cela devait être, car, pour un semblable point, un plan parallèle au plan tangent et infiniment voisin coupe la surface stiivant un cercle, ce qui est l'une des définitions des ombilics.

526. Courbare d' une surface. — Considérons, sur une surface S, la portion tc limitée par une courbe C; soit a- son aire. Par les divers points de C, menons les normales à la surface. Par un point O de l'espace, menons des parallèles à ces normales : elles formeront un cône. Décrivons autour du point O une sphère de rajon i . La portion o-' de la surface de la sphère contenue dans l'intérieur du cône se nomme, d'après Gauss, la co?^7'6wre totale de la portion de surface ir.

Le rapport — sera sa courbure moyenne. Enfin, on appellera

courbure de la sur face S, en un point {^x^ y^ ^)> la courbure moyenne d'un élément infiniment petit de cette surface contenant le point (^, y^ z).

527. Pour déterminer cette courbure, supposons d'abord que l'élément de surface soit limité par les deux lignes de courbure MN, MP, qui se croisent au point {x, jk, ^), et par deux lignes de courbure infiniment voisines PQ, NQ. Ces

Fig. 24.

lignes se croisant à angle droit, l'élément xMNPQ pourra être assimilé à un petil rectangle plan, et son aire a- sera sensiblement représentée par le produit MN.MP.

D'autre part, la normale en N sera contenue (aux infiniment petits près du second ordre) dans le plan mené par la normale en M et la tangente à MN, car elle passe parle centre de courbure et par le point N, qui tous deux sont dans ce plan. De même, la normale en P sera dans le plan mené par la normale en M et la tangente à MP. Ces deux plans sont évidemment rectangulaires.

Cela posé, si, par le point O, centre de la sphère, on mène des droites Om, On, 0/> parallèles à ces normales, les plans Omn, Omp seront rectangulaires. L'élément de surface sphérique a-' aura donc ses côtés rectangulaires et aura pour aire le produit de ces côtés, qui sont évidemment les angles a et a< formés par la normale en M avec les normales en N et P.

Mais on a évidemment

a^^i.MN, aizrr/r^MP,

k^ et A-2 représentant les courbures des lignes MN et MP, lesquelles sont évidemment égales aux courbures principales.

On aura donc ce théorème :

La courbure d'une surface en un point est égale au produit des courbures des sections principales.

528. Pour établir complètement cette proposition, il reste pourtant à montrer que le résultat subsiste si Fon considère un élément quarrable o- de forme quelconque, au lieu de l'élément particulier que nous avons choisi.

Pour le faire voir, traçons sur la surface, aux environs du point considéré (^05 y^i ^0)7 un réseau de lignes de courbure infiniment voisines les unes des autres. Ces lignes décomposeront l'intérieur de a- en éléments infiniment petits. Ceux qui rencontrent sa frontière pourront être négligés à la limite, car la somme de leurs aires est infiniment petite, et il en est évidemment de même de la somme de leurs courbures totales.

Quant aux éléments intérieurs, limités par des lignes de courbure, on peut leur appliquer ce théorème. Soit donc de l'un d'eux; l'élément sphérique <ie correspondant aura pour valeur principale de son aire l'expression

/i ^ A-2 de,

kn^ k^ désignant les courbures principales au point (^,JK, z) origine du rectangle de.

L'aire a-'=limS<ie' sera donc donnée par l'intégrale définie

Skik^ de,

prise dans l'intérieur de a-.

Les courbures principales sont d'ailleurs racines d'une équation du second degré, qui se déduit de l'équation (9) en y remplaçant ^^ par sa valeur

Le produit de ces deux racines sera le quotient du déter-

^usivbesîtt;

^irpo

minant

dk dk

du dv

dh dB

du âv

dC dC

du ôv

par le déterminant doc

du dz

doc d^ dy

v/A^-hB^ + C?

lequel est manifestement égal à ( A^ + B^-f- G-)^. Nous aurons donc

(A2-hB2 + G^)^

Gette expression est une fonction continue de u et de v aux environs du point (^o^JKo^ ^o); car le numérateur et le . dénominateur sont continus et ce dernier ne s'annule pas.

Si donc nous supposons que l'élément o- décroisse indéfiniment, et si nous désignons par [k^ k2)o la valeur de ki ko au point (xq^ yo, Zq) nous pourrons écrire

ATi ATg = ( A 1 A"2 )o ~^ f^)

R tendant uniformément vers zéro dans tout le champ c. On aura par suite

<j'=S[{k,k,),-i-R]de=:[{k,k,)o^p]^,

p étant compris entre le maximum et le minimum de R dans le champ a-, et, par suite, étant infiniment petit. Donc

lim

ce qu'il fallait démontrer.