IX. — Coordonnées curvilignes
529. Soient, comme au n" 153, x^ y, z et ^, u^ v deux systèmes de variables, liées par les relations
Supposons que, dans l'intérieur d'un certain domaine E: i^ les fonctions cp^, cp2, cp3 admettent des dérivées partielles continues; 2° leur jacobien J n'est pas nul; 3" à deux points (^, w, v) différents correspondent deux points (^,JK, z) différents.
Lorsque (^, u^ ç) décrit le domaine E, (^,y, z) décrira un domaine correspondant E^, dans l'intérieur duquel t^ u^ v seront réciproquement des fonctions de x^ y, z, telles que
Au lieu de déterminer la position d'un point de E' par ses coordonnées cartésiennes x, r, -s, on peut le faire au moyen des nouvelles variables ^, u, v\ car, les valeurs de celles-ci étant connues, on peut en déduire celles de x^y^ z^ et réciproquement. On donne à ces nouvelles coordonnées le nom de coordonnées curvilignes.
Les points pour lesquels t a une valeur constante t^ représentent une surface $^ (^^JK, ^)= ^0? q^^e nous appellerons, pour abréger, la surface t^. En faisant varier cette constante, on obtiendra une famille de surfaces. Les équations
M = 4>2(^,/, 5)= const., ç -=.^.^{^x^y^ z)-^=- const.
représenteront deux autres familles de surfaces.
La valeur principale ds de la distance de deux points infiniment voisins («, ç^, w) et (w -f- (iw, v -\- dv^ w -\- dw') est donnée (153) par la formule
( r/52 = Ml dt- H- M, du- 4- M3 â?(^2 ^ 2 N, du dv (3)
( + i^^dv dt -\- i^^dt du,
^'-i&î' ^-2:Sï' . ••••
La valeur principale dY de l'élément de volume compris entre les surfaces t, t-h dt; u^ u-h du] (^, p + <iç^ est donnée d'autre part (153) par la formule
(4) dy=\J\dtdudç.
530. Eq chaque point x, y^ z passent une surface i, une surface ii et une surface v. Les plans tangents à ces surfaces ont respectivement pour équations
dx
dx
Ils se couperont à angle droit si l'on a
dx dx dy dy ' dz dz "' '
\ dx dx dy dy dz dz '" '
\ dx dx dy dy dz dz
Si CCS équations sont identiquement satisfaites, quels que soient ^,j>^, 5, les surfaces des trois familles se couperont partout à angle droit, et formeront ce qu'on nomme un système orthogonal.
Dans ce cas, les expressions de ds'^ et de dY ^ données cidessus, se simplifieront.
Posons, en effet, pour abréger,
Les équations (2) donneront, par dérivation et division
par y/^^, sJ^2, v/^3,
-—= — --( .— dx + -r— ^x + - — dz ,
v/Ai \J^, \ àx dy ■' dz ) ^
du I /()*2 / à^'> i ^*2 7
-7= = -J—- 3— (^^ + -^'"^ dy 4- y- dz
s/ A3 v'AsV^'^ ^/ ^^
Ajoutant les carrés de ces équations et tenant compte des relations (5) et (6), il vient
Al A2 A3 -^
La comparaison de cette valeur de ds'^ avec l'expression (3) donne
(8) Mi=:--, ^l2==-f> M3=f, Ni==N2--=N3=ro.
A, A, Ao
D'autre part, l'élément de volume dW se réduit sensiblement à un parallélépipède rectangle, ayant pour arêtes les distances du point (^, w, v) aux points [t -\- dt^ m, (^), {t, u-^ du, ç), [t, u, v-\-dç). On a pour la première, en posant du=^ dv = o dans la formule (7),
ds^ = —- = Ml dt'-, d'où ds = s/Ui dt. ^1
Les deux autres seront de même égales à y/Ma <iw, y M3 c/p on aura donc
(9) dV = \^/MiM2M^dtdudç,
526 PREMifîRE PARTIE. -- CHAPITRE IV.
Nous allons passer rapidement en revue les systèmes de coordonnées les plus usités.
