Coordonnées polaires. — Posons

x--=.r sinX cosfx, j)^ = /'sinX sinfj., z :=! r cosX.

Les variables r, >., \k se nomment les coordonnées polaires du point (^, jK, s).

Ajoutant les carrés de ces équations, il vient

Les surfaces r = const. sont donc des sphères ayant l'origine pour centre.

On a, d'autre part,

^^- = tangU.

Les surfaces A =: const. sont donc des cônes de révolution autour de l'axe des z.

Enfin

^ =: tan g [X.

Les surfaces |Ji. = const. sont donc des plans passant par l'axe des z.

Ces trois systèmes de surfaces se coupent évidemment à angle droit.

En faisant varier r de o à go, X de o à tc, et [ji Je o à 2 7r, on obtiendra tous les points de l'espace, chacun une seule fois. (On doit excepter les points de l'axe des z pour lesquels |i. est indéterminé. A l'origine, X est également indéterminé.)

On a

^ dr J \dr J \()r =: sin^ X cos^ [Ji -+- cos^ X cos^ \x. -f- sin^ (jl =z i

__fà.xy /dyV /àzV

=r- r^ cos^ X cos^ [J. -f- r^ cos^ X sin^ [j. H- r^ sin^ X nr: r^,

= 7'2 sin^ X sin^ [x 4- r^ sin^ X cos^ jx = r^ sin^ X

et, par suite,

ds^ = <ir^ -f- /•- <iX^ 4- /"^ sin^ X <i[jL^, <iV = r^ sin X ^r <^X dix.

L'emploi des coordonnées polaires est surtout avantageux dans les questions relatives à la sphère ou aux surfaces de révolution.

532. Coordonnées semi-polaii^es. — Pour les cylindres droits, on emploie de préférence les coordonnées semipolaires

X = r cosp,

y~r sin [x,

Les surfaces z = const. représentent ici des plans parallèles au plan des xy\ les surfaces r = const. des cylindres ^^ + JK^ -'— ''' ^6 révolution autour de l'axe des z\ les surfaces

|jL =: const. des plans — = tanga qui passent par cet axe. Ces

surfaces se coupent à angle droit, et l'on obtiendra tous les points de l'espace, une fois chacun, en faisant varier r de 0 à Gc, iji de o à 27l, s de — co à -f- co ( sauf pour l'axe des z^ où [JL est indéterminé).

On a ici

Ml = cos^ [x 4- sin^ |x = I ,

M2 = r^ sin- [X -h r~ cos- [x =: r-, M3=i,

et, par suite

d\ -=-- r dr d\x dz .