Coordonnées elliptiques. — Les surfaces

où \ est un paramètre variable, forment un système de surfaces homofocales du second degré.

Par chaque point ^, y, z de l'espace passent trois surfaces du système, dont les paramètres seront les racines de l'équation

A + àB + aCh-a du troisième degré en X.

534. Cette équation a ses trois racines réelles, et respectivement comprises entre — A et — B, entre — B et — G, entre — G e/ -f- 00 (en supposant, pour fixer les idées, qu'on aitA>B>G).

En efifet, posons \=z — A-f- s, 0 étant une quantité positive infiniment petite, le premier membre de l'équation deviendra

e B— A — £ G — Ah-ô

Le premier terme — est positif et infiniment grand. Il

l'emportera sur les autres, qui sont finis. Le résultat de la substitution sera donc positif.

APPLICATIONS GÉ031ÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 'Ô2g

Si Ton posait \ =. — B — s, le premier membre de l'équation deviendrait

et serait négatif, le second terme -^^-- , qui est négatif et infini, l'emportant sur tous les autres.

Donc, le premier membre de l'équation change de signe entre A = — A -|- £ et X =^ — ^ B — s. Or, il est évidemment continu dans cet intervalle. Donc, il s'annulera entre ces limites.

On voit, de même, que X = — B -f- s donnera un résultat positif; X = — G — £ un résultat négatif. Donc, il y a une seconde racine réelle dans cet intervalle.

Enfin, A = — C+£ donne un résultat positif; A =: -(- oo un résultat négatif. Donc, il y a une troisième racine réelle, supérieure à — G.

Lorsque \ est < — A, A -|-X, B -j- A, 'G -{- "X étant négatifs, la surface représentée par l'équation (lo) sera imaginaire.

Si A> — A et < — B, A-f-A étant positif et B -f- X, G -f- X négatifs, la surface sera un hjperboloïde à deux nappes.

Si A >> — B<< — G, ce sera un hjperboloïde à une nappe.

Enfin, si A > — G, ce sera un ellipsoïde.

Donc, en chaque point de l'espace se croisent trois surfaces du système, à savoir : un hyperholoïde à une nappe, un hyperholoïde à deux nappes et un ellipsoïde.