VIII. — Lignes continues. — Lignes rectifiables

96. Lignes continues. — Une ligne, étant définie comme le lieu des positions successives d'un point mobile, sera représentée, dans le cas du mouvement plan, par un système de deux équations

/ et (p étant des fonctions de la variable indépendante t, qu'on pourra considérer comme figurant le temps. Si ces fonctions sont continues, la courbe sera dite continue.

Supposons que t varie de la valeur initiale ^o à la valeur finale T. Si les valeurs finales de ^, y coïncident avec leurs valeurs initiales, la courbe sera fermée.

Plus généralement, si, pour plusieurs valeurs différentes de t, X al y reprennent le même système de valeurs, la courbe passera plusieurs fois par un même point, que l'on appellera un point multiple.

La distance d'un point fixe (^, Tj) au point (^, x. y) d'une ligne continue est une fonction continue de t] si le point (;, Tj) n'est pas sur la courbe, cette fonction ne s'annulera pas; elle admettra donc un minimum différent de zéro, qu'elle atteindra pour une certaine valeur de ^, et qu'on pourra appeler la distance du point (^, r, ) à la courbe.

Soient de même (^, ^, y) et {u, ?, r^) deux points pris respectivement sur deux courbes continues

^=f{t). / = ?(0 et ^=F(/0, Yi = *(«).

Leur distance sera une fonction continue de t et de u. Si les courbes ne se rencontrent pas, elle atteindra, pour un certain système de valeurs de t et de u^ une valeur minimum, qui sera la plus courte distance des deux courbes.

97. Considérons enfin une courbe fermée G continue et sans point multiple, décrite en faisant varier t de ^o à T r= fo+ ^- Elle sera caractérisée par deux équations

où les fonctions F et ^I> sont définies de ^o à ^o -+- w? et satisfont aux relations

A chaque valeur de t comprise dans cet intervalle correspond un point différent de la courbe, sauf les deux valeurs extrêmes ^o et ^o H~ ^? cf^^i correspondent au même point.

Soient /(^) et cp(^) deux fonctions respectivement identiques à F(^) et à<ï>(^) dans l'intervalle de ^o à ^q + o), et définies pour les autres valeurs de t au moyen des relations

/(^ + co)=/(0, cp(^ + w)=:cp(0.

Ces nouvelles fonctions seront continues, et les équations

où t varie de — X) à +00 représenteront encore la même courbe que précédemment, décrite une infinité de fois, de telle sorte qu'à chaque point x. J^ de la courbe correspondent une infinité d'arguments t différant entre eux de multiples de (0.

Cela posé, soient

(^,^,jk) et [t'^x'^y') deux points variables pris sur une même courbe C continue et fermée, sans point multiple: A = \J{x' — ^)2+ {y' — yY leur distance ; t' — t =z h la différence de leurs arguments.

Ces arguments n'étant déterminés pour chaque point qu'à un multiple près de co, on peut évidemment les choisir

de telle sorte que li ne surpasse pas — en valeur absolue. On

peut admettre, en outre, qu'il est positif, en échangeant au besoin les deux points x^ y et x ^ y.

D'après les propriétés des fonctions continues, on pourra, quelle que soit la quantité positive a, déterminer une autre quantité ^ telle que, pour toute valeur de h moindre que [3, on ait

\x' — x\< -j=., |y'y|<; d'où A<a.

Donc, si h tend vers zéro, il en sera de même de A.

Réciproquement, si A tend vers zéro, il en sera de même pour A. En effet, A est une fonction continue de t et de A; car la différence entre la distance des points ^, t -\- h et celle des points t -f- dt^ t -\- dt -^ h -[- dh est au plus égale en valeur absolue à la somme des distances du point t au point t -\- dt, et du point t -^ h au point t -\- dt r\- li -\- dh^ lesquelles dislances tendent vers zéro avec dt et dh. D'autre part, A ne s'annule que pour h = o. Donc, parmi tous les systèmes de points t^ t -^ h, où h n'est pas inférieur à une quantité fixe P', il en existera un pour lequel A prendra une valeur minimum a' différente de zéro. Donc, quelque soit d'ailleurs t, A ne pourra s'abaisser au-dessous de a' sans que h s'abaisse au-dessous de ,3^

Si donc A tend vers zéro, h tendra également vers zéro, et, par suite, la distance du point t à un point quelconque de l'arc compris entre les points t^ t -\- h tendra aussi vers zéro.

98. Cela posé, donnons à l'argument t une suite de valeurs infiniment voisines Iq^ t^^ . . ., embrassant une période to. Sur les points de G ainsi déterminés, construisons un polygone inscrit P. La distance d'un quelconque de ses sommets, tel que ^/, aux divers points de l'arc de courbe titi^i, et notamment à son autre extrémité ^/^<, pourra être supposée << S, 8 étant une quantité infiniment petite, indépendante de la position du point ti. La distance d'un point quelconque t, pris sur l'arc ^^^/^i, à un autre point t^ pris sur la corde iiti+\j sera

Le polygone P peut avoir des points multiples; mais on en déduit aisément un polygone réduit P^ sans point multiple, et tel que la distance de deux points quelconques ^, ^', pris sur une partie de la courbe et sur la partie correspondante de ce polygone, soit infiniment petite, et cela uniformément.

Suivons, en effet, le contour du polygone P jusqu'à ce que nous arrivions à un point multiple a\ soit ^/^/^< Je côté sur lequel il est situé. Continuons à suivre le polygone jusqu'à ce qu'on arrive à un second côté ^a^a+i, passant également par le point multiple a. Les droites titij^^ et t^tj^,^^ ayant une longueur << ^ et se coupant au point a, la distance des points ^i et ^/f^, sera <C ^ô, quantité infiniment petite. La différence tk\.i — ti de leurs arguments sera donc << £ en valeur absolue, £ étant une quantité infiniment petite.

Si cette différence est positive, la distance au point ti d'un point quelconque de l'arc tittj^^ .. .tj^j^^ sera <ir\^ y\ étant un infiniment petit. La distance d'un point quelconque t^ pris sur la partie ti, . . t^ de cet arc à un point quelconque ^ pris sur la droite ^/<2, sera donc <<-/] + ô. D'autre part, la distance de deux points quelconques pris sur l'arc ^^^yt+t et sur la droite a^A^, est << 2ô. Si donc, en décrivant le contour du polygone P, nous nous abstenons de décrire la boucle ati^^ . . .t^a^ de manière à substituer à la ligne polygonale titij^^ . . . tk la droite tia et, au côté ^a^a+i, la partie at]^^^^ de cette droite, nous obtiendrons un polygone réduit P, , ayant moins de points multiples que P, et tel qu'en prenant arbitrairement deux points ^, t^ sur une partie de la courbe et sur la partie correspondante du polygone, leur distance soit constamment <C ^-j a désignant un infiniment petit, égal à la plus grande des quantités y) + S, 20.

Si la différence ^^^, — ti était négative, au lieu de supprimer dans le polygone P la boucle ati^^ . . . tka^ on supprimerait l'autre boucle a^y^+i . . . ^/ a, et l'on arriverait évidemment au même résultat.

Si le polygone V^ présente encore des points multiples, on y supprimera une nouvelle boucle, et ainsi de suite, jusqu'à

ce qu'on arrive à un polygone réduit P', sans point multiple, et jouissant des mêmes propriétés.

99. Ce nouveau polygone P' divise le plan en deux régions, l'une extérieure, l'autre intérieure.

Nous allons établir qu'il existe toujours un point />, situé dans la région intérieure, et dont la plus courte distance à P' surpasse une quantité fixe, différente de zéro.

Soient, en effet, A = (^o> ^o, J^o) et B = (ti, x^^ y^) les deux points de la courbe G pour lesquels x atteint sa plus plus petite valeur Xq et sa plus grande valeur Xi. La courbe sera formée de deux arcs, l'un allant de A en B, l'autre revenant de B en A.

Considérons sur ces deux arcs deux points (^t^x,y) et (t'y x'j y), dont les abscisses soient comprises entre Xq-^- (^ et Xi — j3, ^ étant une quantité fixe arbitraire, moindre que

'—^^ -' La distance de chacun de ces points à l'un quelconque des points A, B étant ^ j^, les différences des arguments, t — ^07 ^i — ^5 i — f\j ^0 — ^^ surpasseront une quantité fixe y; et, comme l'argument varie de co quand on décrit la courbe entière, on en conclut que t' — ■ t est compris entre 2Y et co — 2 y. La distance des points t et t' ne pourra donc s'abaisser au-dessous d'une quantité fixe d.

Gela posé, la distance entre deux points choisis à volonté sur deux portions correspondantes de la courbe G et du polygone P' est <; a, a désignant un infiniment petit. On pourra donc déterminer sur P^ deux points A', B', dont les distances à A, B soient respectivement <:^a; et le polygone se composera également de deux arcs polygonaux, l'un allant de A' à B', l'autre revenant de B' à A'. Prenons respectivement sur ces deux arcs deux points (^j'-o), (SS r/),, dont les abscisses soient comprises entre Xq^ '^ -\- ol et Xi — P — a. Il existe sur la courbe des points ^, t' dont les distances à ces deux-là sont << a; leurs abscisses seront comprises entre ^o+ 1^ et Xi — p ; leur distance sera donc >> d, et la distance des points

VARIABLES RÉELLES. qS

(^, 71 ), (^', 7]^) sera > 6/ — 2a, quantité qui deviendra, lorsque a décroît, plus grande que c/^, t/i étant une quantité quelconque moindre que d.

Gela posé, coupons le polygone réduit par la droite

^ __ ^ o j^çg points A' et B' n'étant pas du même côté

de cette droite, elle traversera chacun des deux arcs A'B' et B'A' en un nombre impair de points. En remontant cette droite à partir de l'infini négatif, on sera d'abord en dehors du polygone. Au premier point d'intersection, on entrera dans l'intérieur; on en ressortira au second, et ainsi de suite.

Supposons, pour fixer les idées, que la droite en question traverse d'abord l'arc A'B'en m points consécutifs, puis l'arc B'A' en n points, puis l'arc A'B' en m' points, etc. La série des nombres m, /i, m', . . . contiendra au moins deux nombres impairs. Soit, par exemple, m' le premier nombre de cette nature que contient la série. Le nombre m -^ n -\- m' étant impair, le tronçon de droite contenu entre le (m~}- n-^/ii'y""''' point d'intersection et le suivant sera intérieur au polygone; d'ailleurs, ses deux extrémités sont l'une sur l'arc A^B^, l'autre sur l'arc B'A'.

Considérons un point quelconque de ce tronçon de droite. La somme de ses distances aux portions q et q' des lignes polygonales A'B' et B'A' comprises entre les deux abscisses •^0+ P "^ ^ 6t ^i — [^ — ^' 6st au moins égale à la plus courte distance de ces deux lignes, qui est '^d^. Or, lorsque le point se déplace sur le tronçon de droite considéré, sa distance à q^ d'abord nulle, varie d'une façon continue et devient plus grande que û?, . Il existe donc sur cette ligne un point/»,

où cette distance devient égale à -^- La distance de ce point

a Q sera >> — ^2

D'autre part, l'abscisse de ce point étant égale à — ^-) sa

distance à un quelconque des autres points des lignes A'B' ou B'x\', dont l'abscisse est moindre que^o + P+^c ou plus grande

go PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I. j

que Xi — [^ — a, sera au moins égale à — — [6 — a,

quantité qui, pour a assez petit, devient plus grande que

toute quantité c/2 inférieure à — ~ — [3. La plus courte

distance du point considéré au polygone P^ sera donc >> /, / désignant la plus petite des quantités -d^ et d2.

100. Cela posé, le lieu des points du plan qui sont à la distance a d'un côté du polygone P' se compose de deux droites égales et parallèles à ce côté et de deux demi-circonférences reliant leurs extrémités. Traçons ces droites et ces cercles pour chacun des côtés de P'. L'ensemble de ces lignes auxiliaires décomposera le plan en un certain nombre de régions. Considérons, en particulier, celle de ces régions qui contient le point p. Elle est intérieure à P^, et tous les points de son intérieur seront à une distance de P' plus grande que a. Elle sera limitée par un contour fermé R sans point multiple, dont chaque point sera à la distance a de P'. Le cercle de rayon l — a, décrit du point p comme centre, sera en entier dans son intérieur. Au contraire, tous les points de la courbe C lui seront extérieurs, car leur distance à P' est < a.

Décomposons le contour R en éléments infiniment petits par des points de division a, a', d\ .... Soient ab, a' b' , . . . des droites de plus courte distance menées de ces points au contour P'. Ces droites auront a pour longueur commune. Elles ne peuvent rencontrer sur leur parcours ni R ni P'; car, si cela avait lieu, on aurait sur R un point dont la distance à P^ serait << a. Elles resteront donc dans l'espace annulaire compris entre R et P'. Enfin, elles ne peuvent se couper mutuellement; car, si ab et a' b' ., par exemple, se coupaient en un point de leur parcours, on aurait évidemment

aV ^ a'b <,ab -^ a' b' <,17.\ |

l'une des deux distances ab\ a! b serait âonc <; a. On aurait

donc ici encore, sur R, un point dont la distance à P' serait <a.

Cela posé, soient ab^ a' h' deux lignes de plus courte distance consécutives. A la portion bcb' du polygone P', comprise entre b et b\ correspond un arc BB' de la courbe G, dont les extrémités B, B' sont respectivement à une distance < a de 6 et de b' . La distance rectiligne des points B, B' sera infiniment petite, car elle est au plus égale à

^b-\-ba-^aa'-v-a'b'-\-b"è',

quantité moindre que ^'y.-\- aa' . Donc tous les points de l'arc BB' sont à une distance infiniment petite de B. Il en sera de même des points de la ligne polygonale bcb' ^ dont chacun est éloigné de moins de a de l'un des points de BB'. D'ailleurs la ligne polygonale ^baa' b'^' est également infiniment petite. Donc tout le contour polygonal baa' b' cb sera contenu dans un cercle de rayon infiniment petit décrit autour de B, et tous les points de la région intérieure à ce contour seront infiniment voisins de B.

Donc tout point de la région annulaire comprise entre R et P' sera infiniment voisin de la courbe G.

Le contour R, dont nous venons d'établir les propriétés, est formé de lignes droites et d'arcs de cercle; mais ces arcs de cercle, s'il en existe, tournent leur convexité vers l'intérieur de P' et, en remplaçant chacun d'eux par un polygone inscrit dont les côtés soient assez multipliés pour que la distance du cercle au polygone soit moindre que la plus courte distance de R à P' et à G, on obtiendra un nouveau polygone S uniquement formé de lignes droites et jouissant des mêmes propriétés que R, à savoir : i" il n'a pas de point multiple; 2" il contient à son intérieur un cercle de rayon fini; 3° il laisse à son extérieur tous les points de P' et de G; 4^ tout point de l'espace annulaire compris entre P' et S est infiniment voisin de G.

lOL On pourrait considérer de même, parmi les régions

gS PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

dans lesquelles le plan est décomposé par les lignes droites et les cercles auxiliaires, celle qui est extérieure à toutes ces lignes. On verrait aisément, par des considérations toutes semblables à celles que nous avons développées, que tous ses points sont à une distance de P' plus grande que a; qu'elle est limitée par un contour fermé R', sans points multiples, enveloppant le poljgone P' et la courbe C, et dont tous les points sont à la distance a de P'; que tous les points de l'espace annulaire, compris entre R' et P', sont infiniment voisins de C; enfin, qu'on peut remplacer R' par un polygone S' exclusivement formé de lignes droites et jouissant des mêmes propriétés.

102. 11 est donc établi qu'on peut, quelle que soit la quantité £, trouver deux polygones S, S' sans points multiples, intérieurs l'un à l'autre, entre lesquels la courbe se trouve contenue, et tels que chaque point de l'espace annulaire qui les sépare soit à une distance de C moindre que £.

Soient Yj, r/ les plus courtes distances de ces polygones à la courbe G; £( une quantité moindre que 'i] et r/. On pourra trouver deux nouveaux polygones S,, S,, intérieur et extérieur, dont l'écartement à la courbe soit <^ £i ; ils seront évidemment compris entre les deux autres.

Continuant ainsi, on pourra former une série de polygones intérieurs de plus en plus grands S, S^ . . . , et une série de polygones extérieurs S', S'^, . . ., comprenant toujours entre eux la courbe C et s'en rapprochant de plus en plus.

Les points du plan seront de trois sortes :

1° Ceux qui, à partir d'un certain terme de la série, deviendront extérieurs aux polygones S', S'^, ... ; on les nommera points extérieurs à la courbe ;

2" Ceux qui sont intérieurs à partir d'un, certain moment aux polygones S, Si , ... ; on les nommera joom^5 intérieurs à la courbe;

Z" Ceux qui sont intérieurs à tous les polygones de la suite S', S',, ..., mais extérieurs à tous les polygones S,

VAKIABLES RÉELLES. 99

S, , .... Ces points, dont la distance à la courbe est moindre que toute quantité assignable, seront situés sur elle.

Tl est donc établi que toute courbe continue C divise le plan en deux régions, l'une extérieure, l'autre intérieure, cette dernière ne pouvant se réduire à zéro, car elle contient un cercle de ravon fini.

103. Deux points intérieurs q^ q' peuvent toujours être réunis par un trait polygonal intérieur à la courbe. Il existe, en effet, dans la série S, S|, ... des polygones Intérieurs, un polygone S/ qui les contient tous deux. Par les points q^ q' ^ menons des droites quelconques qui coupent ce polygone en /• et /•'. Les droites qr, </'/', jointes à l'un des deux arcs de S/ qui réunissent /• à /*', satisferont à la question.

Deux points extérieurs pourront être réunis de même sans traverser la courbe.

Au contraire, toute ligne continue D, qui joint un point intérieur <7 à un point extérieur^', coupera nécessairement la courbe C. Soient en effet u l'argument dont la variation donne les divers points de D; Wq, u' les valeurs de cet argument aux points q^ q' .

Considérons l'ensemble des valeurs de a comprises entre ll^) et il'. Celles de ces \aleurs qui correspondent à des points intérieurs à C forment un ensemble borné. Soit U son maximum. \aQ point U, ap[)artenant à la Irontlère entre les points intérieurs et les points extérieurs, sera sur la courbe C.

JOi. Une ligne L continue et sans points multiples, tracée dans l'intérieur d'un contour continu C sans point multiple et ayant ses extrémités sur ce contour, partage l'intérieur de C en deux régions séparées.

Plus généralement, considérons une région II du pbin limitée : I" par n contours fermés sans points multiples C,, .... (\,t^ extérieurs les uns aux autres; 2" par un autre contour analogue Cq qui les contient dans san intérieur. On pourra, sans partager 11 en régions séparées, tracer a lignes conli-

nues L,, ..., L,;, réunissant respectivement les contours C^, . . . , G/i au contour Gq. Mais, cela fait, toute nouvelle ligne conlinue L,;^,, joignant deux quelconques des points frontières de R, divisera R en deux régions distinctes.

On exprimera cette propriété d'une manière abrégée en disant que Voi'dre de connexilé de R est égal k n -\- \ .

Ges propositions sont évidentes dans le cas où Gq, Ci, ..., Q,i sont des polygones, et, si ces contours sont courbes, nous avons vu qu'on peut les considérer comme des limites de polygones.

lOo. GouRBEs RECTiFi-VBLEs. — Gousidérons une courbe définie par les équations

Soient ^o> ^n • • • • '/o A «J"^ série de valeurs du paramètre t ; XQ^yQ\ Xi, yi] . . .; X, Y les valeurs correspondantes de x, y. Le périmètre du polygone inscrit à la courbe, et dont ces points sont les sommets, sera

Si cette somme tend vers une limite déterminée et constante, lorsque les intervalles t^j^^ — tk dans lesquels on a divisé l'intervalle T — ^o décroissent indéfiniment d'amplitude, cette limite représentera la longueur de Varc de courbe correspondant à cet intervalle.

Pour que cette limite existe, il faut, en premier lieu, que la somme (i) ne puisse pas croître indéfiniment par un choix d'intervalles quelconque. Or l'expression

est au moins égale à \xk^s — Xu\ et à 1j'a+i — yk\-, niais ne peut surpasser la somme de ces quantités. Pour que cette première condition soit remplie, il est donc nécessaiie et suffisant que les sommes

Xlr^-^i— r, 1, y |//,+i— >•/. I

soient limitées et, par suite, que /(^) et (2{t) soient des fonctions à variation bornée.

106. Supposons cette condition remplie, et soit J^ le maximum du périmètre des polygones possibles. Il faudra encore que le périmètre de tout poljgone, pour lequel les intervalles tk^i — t/f sont suffisamment petits, soit aussi voisin qu'on voudra de L.

Cherchons à exprimer analjtiquement cette condition. Nous savons tout d'abord (71) que les fonctions f(t-+-o), o(t -\~ o),/(^ — û), o(t — ù), où 8 est un infiniment petit positif, tendent vers des limites /(/-j- o), o{/ -+- o), f(t — o),

Cela posé, soit Pie périmètre d'un poljgone II correspondant aux points de division ^, , . . . , ^a, • • • et soit t un poinl quelconque intermédiaire entre t^ et^A i-,. Introduisons deux nouveaux points de division t — o et t -\- o également compris dans l'intervalle de t/( à ^/f^.). Le nouveau polygone B' ainsi obtenu différant du premier par le remplacement de l'un de ses côtés par une ligne brisée, son périmètre P' sera

Introduisons le nouveau point de division t. Nous obtiendrons un troisième poljgone H" qui diffère de U' par le remplacement du côté qui joint les points /(^ — o), o(t — 8) et f{t -h 3), (p(^ + S) parles deux lignes qui joignent respectivement ces deux points au point /(^), 'f (^).

Supposons que o décroisse indéfiniment^ les pointsy(^ — 8), o(t — 8) et/(z -h 8), C5(^ -|- 8) tendront vers les points fixes /(/ — o), cp(^ — o)et/(^-ho), (p(^4-o); et, si le point/(/), cp(f) n'est pas sur la portion de droite qui joint ces deux points, nous obtiendrons, par l'adj(»nction du nouveau poinl de division t, un accroissement de périmètre fini. Soit a ce! accroissement. Le périmètre du nouveau poljgone étant an plus égal à L, celui du poljgone II ne pourra surpasser L — a, et cela quelque rapprochés que soient les points ^o, ^i, - . .. t/f, . . ., tant que le point t ne fera pas partie de cette suite.

Aous arrivons donc à ce résiillat que, pour toute valeur de t comprise dans l'intervalle de ^q à T, le point/(/), cp(z) doit être sur le segment de droite qui joint les points /"(^-f-o),

cp(^-Ho)et/(^-o), 'f(^-o).

107. Cette condition est suffisante. En effet, soit £ une quantité quelconque. On pourra déterminer une division en intervalles ^q, ^,, . . ., t^^ . . ., T, telle que le périmètre V

du polygone correspondant soit >> L — -•

wSoit t ^, t\, .... /^ , ... une autre division en intervalles assujettis à la seule condition d'être tous moindres qu'une quantité fixe o; nous allons montrer que, si 8 est suffisamment petit, le périmètre F' du polygone ainsi obtenu sera plus grand que L — z.

Considérons, en effet, un troisième polygone obtenu en prenant, pour points de division, tous les points tk et tous

les points t'- . Son périmètre P" sera ^ P >> L

Evaluons, d'autre part, la différence entre P'' et P', en supposant que 0 ait été pris <C ô', ù' désignant le plus petit des intervalles Z^+i — ^a, auquel cas deux quelconques des points tk seront séparés au moins par un point de la série t'- .

Soient 11 le nombre total des points de la première division ; n' le nombre de ceux de ces points qui n'appartiennent pas à la seconde division. Soient, enfin, t^ l'un de ces derniers points, t'. et t\^^ ceux des points t' entre lesquels il tombe. Le côté t'- t'-^^ du polygone P' sera remplacé dans P" par les deux côtés t]tk, tj^t'-^,.

Or la distance t'-ti^ diffère de la distance [tj^ — o, tf^) d'une quantité nu plus égale en valeur absolue à la distance {t'-^tk—o)\ de même ti,t'.^^ diffère de (/a, ^A-ho) d'une quantité au plus égale en valeur absolue à (^^-^n ^a+o)*5 enfin t'.t'-^^ diffère de (^a — o, ^a+ o) [lequel est égal à (^A — o, ^a) •+- {h^ ^Â+o)] d'une quantité au plus égale en valeur absolue à {t] ^ t^ — o) + (^a+o, t'-^^). On aura donc

VARIABLES RÉELLES. I o3

Or les distances {t'- ^ t^ — o) et {tk-\- o^ t'-^^) tendent vers zéro avec 8. On peut donc trouver une quantité O/^, telle que, pour toute valeur de o inférieure à o^, chacune de ces distances soit moindre que p— ; on aura dès lors

A chaque point i/f de la première division qui n'appartient pas à la seconde, correspond ainsi une quantité ô;^. Si nous prenons pour ô une quantité moindre que la plus petite des quantités o, , . . . , o/^, ... et 8', nous aurons donc

l'"-P'-=^^{tit,-^t,t',,,-titl^ = n'^

d'où

108. Si l'arc de courbe compris entre les points t^ et T a une longueur déterminée L, et qu'on prenne un point t quelconque intermédiaire entre Iq et T, les deux arcs partiels t^t el tT auront également des longueurs déterminées L', L'', et l'on aura

En e(ïet, L est, par définition, le maximum du périmètre des polygones inscrits à l'arc IqT. Parmi ces polygones, il en est qui n'ont pas de sommet en t; mais, en intercalant ce nouveau sommet, on ne fait qu'accroître le périmètre. On peut donc, pour la détermination de L, ne considérer que les polygones qui admettent t pour sommet. Or ceux-ci sont formés de deux polygones, inscrits, l'un dans l'arc Iq t, l'autre dans l'arc tT. En appelant P, P', P'' les périmètres des trois polygones, on aura toujours

Donc, P étant limité, P' et P'^ le seront également, et L, maximum de P, sera la somme des maxima partiels L', 1/.

lO/i PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

Il résulte de là que Tare t^t^ où le point / est considéré comme variable de ^o à T, est une fonction de ^, essentiellement positive et croissante. Nous la désignerons par 6'. Cherchons quelles nouvelles conditions sont nécessaires pour qu'elle soit continue.

i09. Lorsque t s'accroît de la quantité A, l'accroissement de l'arc est évidemment égal à la longueur de l'arc compris entre les points t et t -^ h. Intercalons donc, entre t et t -j- h, une série de valeurs intermédiaires /,, ..., t,t', écrivons, pour plus de symétrie, ^o et ^/j^, à la place de t el t-^-h; l'accroissement cherché A^ sera le maximum de l'expression

2^V/[/(^/.-hi)-/(^a)]^+[?(^A-m)-?(^a)JS

lorsqu'on fait varier le mode de division de lintervalle^ on aura, par suite,

Faisant tendre ^, vers t, les seconds membres de ces inégalités tendront respectivement vers

/(^-Ho)-/(0 et cp(/4-o)-cp(0.

Si donc ces expressions ne sont pas nulles, A5 ne pourra décroître indéfiniment avec A, et l'arc sera discontinu.

En changeant le signe de /i, on verra de même que l'arc sera discontinu, si

f{t-o)-f{t) et o{t-o)-o{t) ne sont pas nuls.