AT

On aura, d'ailleurs, -r- ^o, sinon l'origine serait un point singulier sur la surface F — c, hypothèse que nous excluons.

Le plan des yz étant tangent à la surface $ — Ci , on aura^ de même, pour œ =^y =i z ^= o^

mais

Enfin le plan des zx étant tangent à la surface W — Co,

on aura, toujours pour^=jK

dw dW dW ^

dz ox oy ^

Gela posé, les trois systèmes étant orthogonaux, on aura identiquement

dx dx dy dy ' dz dz ~~

d^ âW (^* âw d^ ÔW

dx dx dy dy dz dz

dw dF dW d¥^ dw dF

dx dx dy dy dz dz

Prenons la dérivée de la première équation par rapport ky, il viendra

d'-F d^ dF d^^ d^'F d^

dx dy dx dx dx dy dy'^ dy

dF ^2<i> ^F ^ dF ^<i> dy dy ^ dz dy dz dz dz dy ^

A „ . . T 1 , ^ dF dF d^ d^ ,

A l origine des coordonnées, ou -r— ? ^r-' ^r- ' -^ s an- ^ ^ dx dy dy dz

nulent, cette équation se réduit à

^F d^ dF d^ dx dy dx dz dz dy

Prenant de même la dérivée de la deuxième équation par

rapport à z, celle de la troisième par rapport à x, et faisant ensuite x =y — :: 5 = o, on trouvera les deux équations analogues

df dz dy âx dx dz '

dz dx dz dy dy dx

Ces trois équations, linéaires ethomoffènes en -r- — ^- , -r — r- ^ ' ^ dx dy dy dz

montrent que ces quantités s annulent, car le deter-

dz dx

j , . , , , ^ dF d^ dW .

minant de ces équations, étant égal a 2 -r- ^ — y-, est^o.

On aura donc, à l'origine des coordonnées, non seulement

.. dF dF . d'-F

r — c = o, -.— = o, -v~ = O1 mais encore ^^ — ^-— ==: o. dx dy dx dy

Gela posé, soient, pour abréger, A, B, C, . . . les valeurs

de -— j - .— ;r5 - -;r^j ••• pour 1 orierine. La série de IVlac- Oz 2 ox- 2 dy- ^

laurin donnera

o = F — 6' zz Xz -h B^2^ C/2 -^ . . . ,

d'où

Ce développement ne contenant pas de terme en xy^ les plans coordonnés seront les sections principales de la surface F — c. Donc, l'axe des y, qui est tangent à l'intersection des deux surfaces F — c, <ï> — c,, sera en même temps tangent à l'une des sections principales.

Mais l'origine est un point quelconque de l'intersection des deux surfaces F — c et 4> — c^^, cette courbe sera donc tangente en chaque point à l'une des sections principales, ce qui est l'une des propriétés caractéristiques de la ligne de courbure.

S40. Corollaire. — Les lignes de courbure d\ine quadrique sont, ses intersections avec les quadriques homofocales.

Car les ellipsoïdes et les hjperboloïdes liomofocaux à la quadrique considérée forment un système orthogonal.

COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. SSy