Posons

^, 7], Ç, S, H étant de nouvelles variables, et À, ui, v, ... des constantes dont le déterminant D ne soit pas nul. Soient L, M, N, . . . les mineurs de D; ces équations, résolues par rapport à 5, ''G? Ç, donneront

] Mx^Wy-^Wz (3) 7)= -^^ ,

+ vC,

et X, Y seront liés à S, H par les relations

^ — ^nr;:::, irrr ;; ? I —

( ^~ NX + N'Y -h N"' NX -h N'Y -rN" *

Ces équations, qui définissent sans ambiguïté les rapports

COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. SSq

mutuels de Ç, 7], (^ en fonction de ceux de x^ y^ z et réciproquement, peuvent être interprétées de deux manières :

1° On peut considérer x, y, z el Ç, t], Ç comme deux systèmes de coordonnées différents représentant un même point. Dans ce cas, Ç représente, à un facteur constant près, la distance de ce point à la droite

o == ^ = L^ -h L'/ -h U'^ -^ ^(LX + L'Y + L"),

et de même pour r, et Ç. Le point est ainsi caractérisé par les rapports de ses distances aux trois droites ^ = o, r, = o, ^ nr o. Ces droites forment un triangle qu'on nomme tj^iangle de référence ; i, ri, Ç seront des coordonnées trilinéaires.

La courbe /"= o, rapportée à ces nouvelles coordonnées, aura pour équation

dont le premier membre est encore homogène el de degré n. 2^ Considérons au contraire ^, t,, Ç comme des coordonnées de même nature que x^ y, z. A chaque point (^x, y^ s), les équations (2) feront correspondre un autre point (^, Tj, Ç) généralement différent, et qu'on nomme son transformé homo graphique. La courbe /(^,jKj ^) = o aura pour transformée la courbe

En particulier, la droite à l'infini ^ = o aura pour transformée la droite

X"^-+-îi.''T;-|-v''^=rO,

et la droite

aura pour transformée la droite à l'infini (^ = o.

543. Soit (X, Y) un point du plan, situé à distance finie, ainsi que son transformé homographique (S, H); on aura, d'après cette hypothèse,

V'^ -h p.''H + v'^Jo, NX + N'Y -f- W'io.

Soient (X,, Yi) et (X, + AXo Y,-j-AY,) deux points (|iielconques infiniment voisins de (X, Y) ; (E,, H,) et (3,-1- AS,, H, -h AH,) leurs transformés; l'écart | AX, | 4- \^ ^ \ des deux premiers points sera du même ordre de grandeur que l'écart | AS, \ + i AH, | de leurs transformés.

On a, en effel,

).(S, + AS,)-|-[i.(ll,^AH,) ^v XS,-4-[xH,4-v