AX

X"(H, + ASi) + îi.''(Hi -+- AH, ) ^ v" X"S, -f- [JiMii 4- v" =:::PAS,-i-QAH,,

P et Q tendant vers des limites finies lorsque AS, et AH< tendent vers zéro. On aura donc

I AX. I J 1 p 1 1 AS, I + 1 Q I 1 AH, I =R[| AE, ! + I AH, |],

R élant une quantité finie.

On trouvera, pour | AY, |, une limite analogue. Donc le rapport de I AX, I -f- I AY, | à | AS, | + | AH^ [ ne peut surpasser un nombre fixe. Et comme on peut faire le même raisonnement sur son inverse, on voit que les deux écarts considérés sont du même ordre de grandeur.

Il résulte évidemment de là que, si deux coiu^bes F =: o, F, = o ont un contact d'ordre m au point (X, Y), leurs transformées 4> ^ o, <ï>, = o auront le même contact au point (S, H).

Nous avons admis, dans la démonstration, que (X, Y) et (S, H) étaient tous deux à distance finie. Mais le contact de deux courbes en un point à l'infini n'a été, jusqu'à présentj l'objet d'aucune définition. Nous dirons donc que deux courbes ont un contact d'ordre m en un semblable point lorsque, ce point étant ramené à distance finie par une transformation homogra|)liique, les courbes transformées ont un contact de cet ordre. Cette convention permettra d'énoncer le théorème sans restriction.