Covariants. — Soit
f{x, y, x;) — Sa3tp,^.27^j?^T, a-+- 8 4-Y = Ai
COURBES PLANES ALGÉBIUQUES. 5^1
un polynôme homogène de degré n^ dont les coefficients soient des constantes indéterminées. Par la transformation homographiqiie (2), nous obtiendrons un nouveau polynôme
de même degré, et dont les coefficients Aapy seront des fonctions linéaires des «apy
Gela posé, soit P(^, JK, ^5 • • -^ <^apyj • • •) un polynôme entier et homogène en x^ y^ z d'une part, et par rapport aux coefficients a^^y d'autre part. Si, en substituant pour ^, r^, Ç leurs valeurs (3) en x^y^ z et pour A^py, ... leurs valeurs en a^py, ..., on a identiquement
(5) P(^, ï], ^, ..., Aa|3y, ...) = MP(^, J, Z, .. ., «apy, •••).
M désignant un facteur convenable, on dira que P est un coK'ariant de/". Ce sera un invariant si x^ y, z n'y figurent pas.
Il est aisé de déterminer la nature du facteur M. En effet, le premier membre de l'équation (5) est du même degré que l?(x, y, z, ..., ^apy, ..•), tant par rapport aux variables ^ y, z que par rapport aux coefficients <7apy. Le quotient M sera donc une fonction de )^, [j., v, ... seulement, laquelle
sera d'ailleurs rationnelle et de la forme ^P^? Q désignant
un polynôme en lier.
En appliquant, d'autre part, aux fonctions 'f (b? '^ï^ ?) e' P(^, -^, ^, . . ., A^py, . . ) la transformation homographique (3) inverse de la précédente, on reviendrait évidemment à la fonction primitive /(^, jK, 5) et la condition d'invariance donnerait
(6) P{x,r,z, ..., aa^y, ...) =MiP(?, Tj, r, ..., Aapy, ...),
le facteur M^ = ^ se déduisant de M par le changement de
L L' L" \ 1^, V, ...en^, ^, ^, ..-.
La comparaison des équations (5) et (6) donne
caries déterminants D, D, sont réciproques. D'ailleurs, L,
L', U, . . , D sont des fonctions entières de )^, [J., v, ... ; donc
Q,, qui est entier en ^j —, •••, sera de la forme r—,
R étant un polynôme entier en "k, [a, v, .... Donc, pour que l'on ait QQi = I, il faudra que Q divise D^ et, par suite, se réduise à une puissance de D. Donc, enfin, M sera une puissance de D, positive ou négative, telle que D^.
Pour déterminer l'exposant k, considérons la transforniation particulière
(7) ^==xi, .r=À-^i, - = x^,
pour laquelle D = ).^.
La fonction / étant de degré /i, cette substitution multipliera tous les coefficients par X'^. On aura donc, si P est de degré m par rapport aux variables et de degré p par rapport aux coefficients,
,^X— ^-/^P(^,/, ^, ...,aapy, ...)
et, par suite.
Ce nombre doit être entier; s'il ne l'était pas, il faudrait en conclure l'impossibilité de l'existence d'un covariant P de l'espèce supposée.
545. Les covariants satisfont à un système d'équations différentielles qu'il est aisé de former.
Faisons, en effet, la transformation particulière de déterminant I
d'où
^=z^ — ej, r^ — y, C = -;
OU, en développant et négligeant le carré de l'infîniment petit £
Changeons, dans la seconde somme, a en a + 1 et [3 en ^3 — i et réunissons-la à la première ; il viendra
/(? + E-^i, ^i, ^) = 2[aapy + £(a -^ i) aa+i, p-i, y] ^^'r^P ÇT
et, par suite,
Aapy= «ra,3y+ £(^ + l)<^a+i, p-i, Y
(le second terme n'existant pas si p := o).
Cela posé, l'équation (5) se réduira, dans ce cas particulier, à
P{j^ — ey,y,z, . . ., «apy4--(3C-i-i)«a+i,p-i,Y, •••) =r P(^, y, z, . . ., aa^y, . . .)
OLi, en développant suivant les puissances de £, négligeant encore son carré et supprimant le facteurs,
^P , , âP
la sommation s'étendant à toutes les valeurs des indices pour lesquelles a-4- p-f-y = /iet p>>0.
En permutant les variables ^, y^ z et en même temps les indices a, [^, y, on obtiendra cinq autres équations analogues, exprimant que la condition de covariance est satisfaite pour chacune des substitutions particulières
x — l-^zt, 7 = ^7 ^3 = ^.
544 PREMIÈRi: PARTIK. - CHAPITRE V.
Réciproqiiemeiil, tout polynôme homogène qui satisfait à ce système d'équations différentielles est un covariant. En effet, en vertu de l'iiomogénéité, il satisfait à la condition de covariance pour la substitution (-), et l'on peut s'assurer aisément que toute substitution homographique s'obtient par la combinaison de substitutions successives des espèces (7),
o46. Pour mettre en lumière l'importance de la notion des covariants, nous remarquerons qu'une propriété particulière de la courbe
est généralement caractérisée par une ou plusieurs relations entre ses coefficients.
Admettons qu'une certaine propriété soit représentée par un système d'équations
les c étant les coefficients d'un covariant P. Cette propriété sera commune à toutes les transformées homographiques de/.
Soit, en effef,
/(À^ + fxri-f-v:, ..., ...)-^^A«,3yÇ^
l'une de ces transformées; on a identiquement, par hypothèse,
O — P (^, J, ^, . . . , rtajSy, . . . ) = P ( À? -i- F^i -^ <, . . . , «a|3y, • • ■ ) •
et, en vertu de l'équation (6), on aura de même identiquement
P(ç,ri,s, ..., Aapy, . ..)-^^-0.
Ces propriétés communes à une courbe et à ses transformées se nomment propriétés projectiles. On appelle propriétés métriques celles qui sont au contraire altérées par une transformation homographique.
Nous allons passer en revue quelques-uns des covariants les plus simples.
547. Discriminant. — Il est généralement impossible de déterminer les rapports de ^, jk, z de manière à satisfaire simultanément aux trois équations
àf àf df
dx dy dz
L'élimination de ces rapports donnera, en effet, une équation de condition
Le polynôme A se nomme le discriminant de /. C'est un invariant. Soit, en effet,
(10) /(X^ + |xri+v^,...,...) = T(^.^>0
une transformée homographique de /*, et soit A^ son discriminant. La condition nécessaire et suffisante pour qu'on
puisse annuler simultanément les dérivées partielles ^j ^,
—i- sera A| = o.
Mais si nous prenons les dérivées partielles de l'équation (10) par rapport à ^, -^, Ç, il viendra
l <?x dy ' dz d\'
] àf ,df „df do
\ dx dy dz ôK
Si donc on peut annuler à la fois ^j —y ~, on pourra ^ dx dy dz ^
annuler a la lois -^> -y, ^ri? et réciproquement. Donc les
deux équations A = o et Aj = o sont équivalentes, et A, A, J. - I. 35
ne peuvent différer que par un facteur indépendant des coefficients de/.
• 548. Hessien. — On nomme hessien de / le déterminant
Hr=
d\f d\f d^J dœ^ dx dy dx dz
ây dx dy^ dy dz àV âV d\f dz doc dz dy dz'^
Ce n'est autre chose que le jacobien des fonctions ~-^
-^, ~: et H=:o exprime, comme on sait, la condition dy dz' ^ '
nécessaire et suffisante pour qu'il existe une relation linéaire
^àf ydf ,df entre d~--> a — ', a ~ • dx dy dz
Soit H4 le hessien de cp ; Hi := o sera la condition pour
qu'il existe une relation linéaire entre les différentielles de
d'^ d'f do
Wtr.'dl
' Mais les équations (ii) différentiées permettent
dx
d'exprimer linéairement ces différentielles par celles de
df df , . c- 1 -1 1 •
~j -^? et réciproquement, bi donc il y a une relation entre
ces dernières différentielles, il j en aura une entre les premières, et réciproquement. Les équations H = o, H^ = o sont donc équivalentes et ne peuvent différer que par un facteur indépendant des coefficients.
Le hessien est donc un covariant.
549. Polaires. — Soient x^ y^ z et x\ y', z' deux séries de variables, assujetties à une même substitution homographiqiie
j ^ = X^ -h [J-r, + vÇ, . . .,
On aura évidemment
Cela posé, soit f{x^y, z) un poljnôme qui, par la substitution ci-dessus, se change en
f{x -\- x' , y -\- y' ^ z H- z') se changera évidemment en
Développant les deux membres de l'égalité
f{x + x',y-^y', ^ 4- ^') = cp(^ + ^', r, -H V, ^ + C'), suivant la série de Tajlor, il viendra
dx
, d dy
dx
y dy
■du)
égalité qui deviendra identique si Ton 3^ remplace x^ y, z^ x\ y' ^ z' par leurs valeurs (12). En égalant séparément les termes d'un même degré m par rapport à ^', v]',.Ç', il viendra
Donc l'expression
dx -^ dy dzj -^
est un covariant de /*, pourvu que x' , y' ^ z' j soient soumis à la même transformation homographique que x^ y, z. Ce covariant se nomme la m^^"^^ polaire de / par rapport
au point [x' ^y' jz').
