Points simples et points multiples. — Soit

l'équation en coordonnées trilinéaires d'une courbe d'ordre n ; et soit {x^j^ z) un de ses points. Cherchons son ordre de multiplicité.

Une droite menée par ce point et par un autre point arbitraire (a, 6, c) est évidemment représentée par l'équation

ou par le s^/stème équivalent (i3)

X'z=z Xt

y=yt

z' —Zt

as^ bs, es.

x\ y ^ z' étant les coordonnées courantes et t, s deux paramètres, dont le rapport caractérise les points de la droite.

s Les valeurs de ce rapport -, pour les points d'intersection

de la droite avec la courbe, seront données par l'équation

o^z f{xt -^ as,yt ^ bs^zt -f- es)

^n—m ofn

'^ôi)f^---

r.. àf âf âf ^ 1 ^ I r • 5

oi -r^5 -V- 5 -T- ne sont pas nuls a la lois, on n aura, en dx ay oz ^ ^

général, qu'une racine nulle; le point sera simple. |

La racine nulle sera double si a, 6, c sont déterminés de

telle sorte qu'on ait

df , df

s[ a-/- ^b^ dx dy

c^Uo.

bstituons, dans cette équation, les valeurs de as^ bs, es .s des formules (i3) et remarquons que l'on a, d'après propriété connue des fonctions homogènes,

àf df df .

dx -^ dy dz -^

il viendra, pour l'équation de la tangente,

,df ,df ,df ox ^ dy dz

Supposons, au contraire, que / et toutes ses dérivées successives, jusqu'à l'ordre m — i inclusivement, s'annulent. L'équation (i4) aura m racines nulles et le point {x^y,z) sera multiple d'ordre m.

On aura plus de m racines nulles si a, è, c sont choisis de telle sorte qu'on ait

dx dy dz ' ''

Cette équation, jointe aux équations (i3), caractérise les tangentes au point multiple. Il est aisé d'éliminer les quantités auxiliaires a, 6, c. Nous venons de voir, en effet, que/* étant homogène et s'annulant au point (^,JK, ^)j on a

/ df ,df df\ ,df ,df ,df

\ or dy dz J dx ^ dy dy

Cette nouvelle fonction étant elle-même homogène en x^ y^ z et s'annulant au point x^ y^ z^ on aura, par la répétition de la même opération.

\ dx dy dz] ''

\ dx dy

et enfin

55o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

Le faisceau des tangentes cherchées aura donc pour équation

Le premier membre de cette équation est un covarianl. Pour vérifier qu'il se décompose en un produit de facteurs linéaires, nous pourrons supposer qu'on ait pris le point (^, j^, z) pour l'un des sommets du triangle de référence; on aura, dans ce cas particulier, ^= o, y ==: o, et l'équation (i 5) se réduira à

^ô.-'-^'ôy) ^="'

car toutes celles des dérivées d'ordre m où figure une dériva-

tion par rapport à z sont nulles. Soit, en effet, ^

^ ^t' î î da:''ây^dzy

l'une d'elles; c'est la dérivée par rapport à iï de la dérivée

d'ordre m — i

dx'^dy^di

laquelle est homogène de degré n — m -\~ i et s'annule pour X =z y = o. On aura donc l'identité

dl dl dl ^

""dœ-^^Ty-'-'Tz'^-^''-'^^'^^^

qui se réduira à ^ ^ o au point x ^= o^ y

551. Points cV inflexion. — Ce sont, par définition, les points simples où la tangente a avec la courbe un contact d'ordre supérieur au premier. Si donc (^, y^z) est un de ces points et qu'on choisisse le point (a, Z>, c) d'une manière quelconque sur la tangente, l'équation (i4) devra admettre trois racines nulles; on aura donc non seulement

àf r àf df

ôx dy dz

mais encore

'2 \ dx ' dy dz) -'

Cette dernière équation devant être une conséquence de la précédente, son premier membre, qui est un polynôme du second degré en a, 6, c, se décomposera en un produit de deux facteurs, dont l'un sera précisément

àf

df dz'

La condition pour qu'une décomposition en deux facteurs soit possible est, comme on sait, que le déterminant de cette forme quadratique

dz dx

soit égal à zéro.

Réciproquement, si H =^ o, on aura affaire à un point d'inflexion. On pourra, en effet, déterminer trois nombres a^ è, c de telle sorte qu'on ait

dx'

d\f dy dx

dz dx

dx dy

dy'

dzdy

d\f dx dz

d\f dy dz

d\f dz^

rrr O,

Ajoutant ces équations respectivement multipliées par , — :- — , — '1 — Qi tenant compte de l'homosrénéité de

àf df df ., . .

-f- , V- ' -V- > li Viendra dx â Y oz

àf làf df

dx ôy oz

Le point (a, 6, c) est donc sur la tangente.

D'autre part, les mêmes équations, multipliées par a, 6, c, et ajoutées ensemble, donnent

dx dy dzj ''

La tangente a donc un contact du second ordre avec la courbe.

Les points d'inflexion seront donc les points d'intersection de la courbe /"= o avec sa hessienne H = o. Cette dernière courbe étant d'ordre 3(/i — 2), on aura, en général, \^n{ji — 2) points d'inflexion.

Ce nombre s'abaisse dans le cas particulier où la courbe y*= o a des points multiples. En eff'et, on a, en chacun de ces points,

df df df

dx dv dz

ou, à cause de l'homogénéité,

dx^ '^ dx dy dx dz

d^f d^f dH

dydx "^ dy^ dy dz

dz dx -' dz dy dz^

et, comme x^y^ z ne sont pas nuls à la fois, le déterminant H de ces équations doit être nul.

Les points multiples de / figurent donc, chacun avec un certain ordre de multiplicité, parmi les intersections de /et de H. Mais ce ne sont pas des points d'inflexion, d'après la définition de ceux-ci, qui doivent être des points simples de/.

552. Classe. — On nomme classe d'une courbe /" le nombre v des tangentes qu'on peut lui mener par un point arbitraire (^^ Jk', z').

Soit (^,JK, z) le point de contact d'une de ces tangentes; on aura

et la tangente en ce point passant par (x'^y', z')

,àf ,df ,df

^ djc -^ dy dz

Les deux courbes (16) et (17), de degrés n el n — 1, se coupent en n(n — i) points. On a donc, en général,

Toutefois, si la courbe / a des points multiples, leurs coordonnées satisferont identiquement aux deux équations ci-dessus, quels que soient œ', y' ., z' . La droite qui joint un de ces points multiples au point arbitraire (:r',JK^ z'), bien que coupant la courbe en deux points coïncidents, n'est pourtant pas une tangente au sens propre de ce mot. On devra donc, dans l'évaluation de la classe, supprimer ces solutions étrangères.

553. Coordonnées tangentielles. — L'équation générale d'une droite est de la forme

ux ^ i^y -+- wz = o.

Les coefficients «/, v^ w (ou plutôt leurs rapports) se nomment les coordonnées tangentielles de la droite.

Les diverses droites qui passent par un point (a, b, c) satisfont à l'équation

ua -^ vb ^ wc =^ o,

qu'on peut considérer comme représentant ce point.

Plus généralement, les droites qui satisfont à une équa-

tion homogène et de degré v en w, t^, w

enveloppent une courbe, dont nous dirons que l'équation précédente est Véquation tangentielle.

Cette courbe sera de classe v, car, si l'on veut déterminer celles de ses tangentes qui passent par un point arbitraire (a, ^, c), il faudra associer les deux équations

F ( «, r, w ) = o, ua -\- vh H- wc = o.

Tirant de la seconde équation la valeur de l'une des inconnues w, ^, tv, pour la substituer dans la première, on aura une équation de degré v pour déterminer le rapport des deux autres.

Deux courbes F = o, <[) = o, des classes [jl et v, auront |i.v tangentes communes, dont les coordonnées seront définies par les équations F = o, <ï> =r:= o.

554. On peut distinguer des tangentes simples ou multiples, par des considérations calquées sur celles qui nous ont servi à l'étude des points multiples.

Soient, en effet, F(t/, (^, pp) = o J'équation tangentielle d'une courbe de classe v; (;^, p, (v) l'une de ses tangentes. Son intersection avec une autre droite arbitraire (a, 6, c) sera représentée par l'équation

ou par le système équivalent

u' = ut -\- as, v' z^çt -^ bs, w' = wt -h es.

Les valeurs de - pour les tangentes menées de ce point à

la courbe sont données par l'équation

o ■=F{ut -+- as, vt + bs, wt -^ es)

\ du dv ôw

b\ -^, -T-5 -r- ne sont pas nuls a la lois, on n aura, en du Oi^ ôw ^

général, qu'une racine nulle; une seule des tangentes menées par le point considéré coïncidera donc avec (w, p, w). Toutefois, si la droite (a, 6, c) passe par le point de con-

fd¥ d¥ d¥\ , . , , ,

tact ( -r— j — ? -^— 1 de la tangente (w, v, w)^ deux tangentes

au moins coïncideront avec (w, v^ w\

bi -^i— ) -T-) -r— et, en e^eneral, toutes les dérivées de r" du dv dw ^

d'ordre -< m s'annulent, on aura toujours m racines nulles,

et nous dirons que (w, (^, w) est une tangente multiple

d'ordre m. Le nombre des racines nulles s'élèvera d'ailleurs

au-dessus de m si <2, 6, c satisfont à l'équation

<gr i ^ - c — - F = o, ou ov aw j

laquelle se décomposera en un produit de m facteurs linéaires, dont chacun représente un point de contact.

555. Il est aisé de passer de l'équation d'une courbe en coordonnées ponctuelles à son équation en coordonnées tangentielles, et réciproquement.

Soient, en effet, (i/, (^, w) les coefficients de la tangente en un point {^x^y^ z) de la courbe fi^x^y^ z) = o. Cette droite passant par les deux points {x^y^z) Qi{x-\-dx y y-^dy ^ z-+-dz) ^ on aura

ux -\~ çy -t~ wy = o, u dx + v dy -\- w dz^=. o,

d'où

u '. V '. w '.'. y dz — zdy \ z dx — x dz '. x dy — y dx.

Mais on a d'autre part

àf àf df

dx -^ dy dz -' '

df , df , df ^

-^ dx ^ ^ dy -h ~ dz =z o,

âoc ây -^ Oz

d'où

-^ \ -T- '- v- '-'' Y dz — z dy \ z dx — X dz \ X dy ~ Y dx. dx dy dz -^ -^ ^ j

Donc

df df df " dx ' dy ' dz

Éliminant x, y^ z entre ces équations et l'équation /"= o, on aura l'équation tangentielle cherchée

Réciproquement, soient (^,JK, z) les coordonnées du point de contact de la tangente (w, v^ w) avec son enveloppe F=: o. On aura

ux ^ vy -^ ivz =: o, X du -\- ydi^-^z dw := o, d'où

X : y '. z : : v dw — w dv : w du — u dw : udç — ^> du. Mais, d'autre part,

«3 \-V-^ h MP'-s— =vF =0,

OU 0^ dw

-y- du -{- ^— di^ -^ -z— dw r= o,

du di^ dw

d'où

dF dF dF

X^ I -7- I V- • • <^ "^ ~ w dv : w du — u dw : u di^ — ç du. ou ov dw

Donc

du ' dv ' dw

Eliminant w, i^, w entre ces équations et F = o, on retombera sur l'équation ponctuelle/(^, y, z) = o.