Un polynôme homogène et de degré n

f{x, y, z) = I. arj^o^y œ^ yv> z^

contient un terme en x'^^ deux termes en x^'^^ ..., n -\- i termes indépendants de x^ soit, en tout,

H-2-i-...+ (/i-i-i)= ^ -^ termes.

On peut donc assujettir ses coefficients à satisfaire à

(n -\- 1) in -^ i) , . ^^ . • 1

-^ I relations linéaires et homogènes, qui

détermineront leurs rapports. Le polynôme sera ainsi déterminé à un facteur constant près. Toutefois si le déterminant des équations de condition est nul, il restera plusieurs coefficients indéterminés.

On obtient une relation de l'espèce considérée en assujettissant la courbe /*= o à passer par un point donné (Xi, yi, Zi). Pour exprimer que le point est multiple

a ordre m, on devrait écrire ^ conditions de même

nature, exprimant que les dérivées partielles d'ordre m — i de y s'annulent toutes en ce point.

Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes, car /et ses dérivées partielles d'ordre moindre s'annuleront aussi. Soit, €n effet, I l'une quelconque des dérivées d'ordre m — 2 ; on aura, d'après le théorème des fonctions homogènes,

d\ d\ dl

puisque les dérivées d'ordre m — i qui figurent dans le second membre sont toutes nulles, par hypothèse.

Les dérivées d'ordre m — 2 étant toutes nulles, celles d'ordre m — ^ 3 le seront aussi, et ainsi de suite, jusqu'à/'.

Nous obtenons donc la proposition suivante :

On peut toujours déterminer , et en général d'une seule

1 1, 1 , (/H-i)(/z4-2) manière, une courbe a ordre n passant par — 1

points donnés.

Cet énoncé subsistera, si l'on remplace la condition de

passer par — ^ points donnes par cette a avoir un

point multiple d'ordre m donné de position.

!Si le nombre des points donnes était — 2

seulement, les coefficients seraient déterminés en fonction linéaire de deux d'entre eux, c, c^ , qui resteraient arbitraires, et l'équation de la courbe cherchée serait de la forme

cM -4-c, Ml— -o,

M, M, étant des polynômes déterminés, d'ordre n. En faisant varier le rapport — on obtiendra un faisceau de courbes,

passant toutes par les points donnés; mais elles passeront aussi par les autres points d'intersection de M avec M.^.

On voit ainsi q\i a chaque système de ~ — 2

points pris arbitrairement dans le plan, est associé un

autre système de n^ -. H- 2 points tels que

toute courbe d'ordre n qui passe par les premiers points passe aussi par les autres.

557. Les considérations qui précèdent permettent d'obtenir aisément une limite supérieure du nombre des points multiples que peut présenter une courbe donnée d'ordre n^

Supposons d'abord que le polynôme / ne soit pas décomposable en un produit de facteurs rationnels. Soient /?<, /;2? •••

les points multiples, [i.,, [/.o, ... leurs ordres de multiplicité : chacun des nombres - — ^ — sera au moins égal a i.

La somme \ > étendue à tous les points mul-

. . {n — i) {n — 1) tiples, ne pourra surpasser

Supposons, en effet, qu'elle surpasse ce nombre.

Parmi les points multiples, choisissons-en un certain nombre />4, ..., p^ en nombre strictement nécessaire pour que la somme

soit plus grande que

Deux cas seront à distinguer ici :

^ ç^' ç^ -.n{ii-^\) , . ,

i*^ 01 oa;^^ — I, on pourra determmer une courbe o

d'ordre n — i admettant les points /?^ , . , ., pk comme points

multiples d'ordre u^ — i , ..., ijl/^ — i, et passant en outre

/l ( Al -+- 1 ) ^ . 1 • • 1 • • r

par — I — !Sa points choisis arbitrairement sur /;

car cet ensemble de conditions donne bien les -^^ — i

relations linéaires et homogènes auxquelles on peut assujettir les coefficients de o.

Cherchons le nombre N des points d'intersection de /' et de cp.

Ainsi que nous le démontrerons plus tard, un point commun à deux courbes, et dont les degrés de multiplicité sur ces deux courbes sont respectivement pi et v, compte en général pour piv intersections. Le nombre des intersections correspondantes aux points multiples sera donc

56o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

On aura donc

z^bk-^ I,

Ce résultat est absurde, car deux courbes de degré n ^\ n — î ne peuvent avoir plus de n{^n — i) points communs si elles n'ont pas de partie commune, ce qui n'est pas le cas, la courbe/ étant indécomposable, par hypothèse.

2^ supposons, au contraire, b^^ — ^ — i- Ï50it p le

plus grand entier tel que l'on ait encore

On pourra déterminer une courbe cp de degré n — i admettant les points />i, . . ., pk-\^ Pk avec des ordres de multiplicité p., — I, ..., |i./f^ — I, p. Le nombre N de ses points d'intersection avec /sera au moins égal à

et, comme [i.yt> p -H i et que, d'autre part,

est par hypothèse >> — i , on aura

La conséquence sera la même que dans le premier cas.

Enfin, si/ est un produit de facteurs /o/2i •••7 les points multiples de / seront évidemment : 1° ceux des courbes/i, f^i ... considérées isolément; 2*^ leurs points d'intersection deux à deux. Les uns et les autres sont en nombre limité (si nous excluons le cas où/ admettrait un facteur multiple).

IL — Cycles.

558. Un cjcle ayant pour origine le point (Xq, Yo) est généralement défini par deux équations de la forme

(i) XrrzXo + ai^-l-a2^2 4-..., Y = Yo+pi^-t-P2^2^...,

ou, en coordonnées homogènes, par les proportions

^ : r : ^ : : Xq 4- a, ^ 4- . . . : Yo -h î^j ^ -f- . . . : i ,

. ou enfin, en multipliant les seconds termes des proportions par un même facteur de la forme z^-\- c^t ^ c^t- -\- . . .^où Zç^ n'est pas nul, par des relations de la forme

où

Ti =: cTo H- «^1 /^ 4- ^2 ^' + • • • > T2 1= yo -h èj ^ -I- ^2 ^"^ -f-- . . . ,

Zq n'étant pas nuL

Un cycle dont l'origine serait à l'infini serait représenté par des relations analogues, où Zq serait nul, mais Xq ouj^q différent de zéro.

Réciproquement, un système de relations tel que (2) définit un cycle, car, en supposant, pour fixer les idées, ^o<<>7

X = =i et Y = =^ seront développables suivant les puisas ^3

sances entières et positives de t.

559. Nous supposerons que le paramètre t correspond uniformément aux points du cycle. S'il en est ainsi, et si la

tangente au cycle est une droite

Y-Yo=.a(X-Xo), non parallèle à l'axe des Y, on pourra, en posant

déterminer les coefficients X de telle sorte que les équations du cycle prennent la forme canonique

(3) X = Xo4-«'', Y--3=YoH-aw'-H-ao«'-o4-.. .,

7-, /'o, ... étant une suite d'entiers croissants sans autre diviseur commun que l'unité.

Dans le cas exceptionnel où X — Xo = o serait tangente, on aurait une forme canonique analogue