Supposons, au contraire, qu'on ait
Cp(i — O) = C5(^-l-O) = Cp(0,
ce qui exprime que f(^t) et ç(/) sont continues. L'arc s sera Jui-même continu.
Imi effet, on aura (72)
J\^fii 'ff7 'f-> étant des fonctions continues et non décroissantes. On aura, par suite,
=vr i/(o.H-i)-/(^/.)n
"'ZjL+I ?i(^/.+ i)- ?i(^A-)- 'f2(^A + l)+ ?2(^a)|J
. V i [/l ( ^AH-1 ) - /l ( ^/. )] + [/2 ( ^/.-.l )~M ^A-)] /
■'Z / + [?i(^A-m) - ?,(^a)] H- [?2(^Am) " ?2(^/.)] j
Or chacun des quatre termes de cette expression tend vers zéro avec A, puisque /*,, /^j '^m ^2 sont des fonctions continues.
I Nous nommerons courbes rectijiables celles dont l'arc a une longueur déterminée, fonction continue de t. D'après ce que nous venons de voir, on les reconnaît à ce caractère que les fonctions y(^) et ^{t) sont continues, et à variation limitée.
111. Si les fonctions f{t)^ ^(^) ^''^^ ^^s dérivées continues au point /, l'arc 6- aura lui-même une dérivée, égale à
On a, en effet,
Ta et tJt. étant compris entre f^ et ^a^, et, a fortiori, entre / et / + h.
On en conclut
yv/ï7
{h-^^) - /{tk)ï'-h [^{h.^O - ?{h)y-
^^ Vf'i'^ff)-^ '•?"'{''/() diffère de \ff-(t) -h 'j>''{t) d'une [uantité moindre en valeur absolue que
D'ailleurs les fonctions/' et cp' sont continues ; donc, en prenant h assez petit, on pourra rendre I/'('^a) — f'{^)\ ^^ 1 'f'('^i) — ?(^)l «moindres qu'une quantité positive quelconque z.
On aura donc
Donc sera compris entre
et
Multiplions indéfiniment les valeurs intermédiaires ^i,
//,, ...; Ja somme {'i) tendra vers - . , qui sera encore compris entre les deux nombres ci-dessus.
Si h décroît indéfiniment, on pourra faire tendre en même temps c vers zéro, et l'on aura à la limite
li«n- =Iv7'^0-^'fnO• 112. La région R du plan intérieure à une ligne recti-
fiable (fermée et sans point multiple) est toujours quar-
rable.
Partageons, en elFet, le périmètre J^ de cette ligne en arcs
égaux de longueur -, et décomposons le plan en carrés de
côté -• Il est évident que chacun des fi arcs obtenus ne
pourra rencontrer plus de quatre de ces carrés. La somme des aires des carrés qui rencontrent la frontière de R est
donc au plus éffale à 4^-^ =z — ^. Cette expression tend
vers zéro quand n croît indéfiniment; R est donc quarrable.
M3. Une courbe dans Tespace peut être représentée par trois équations
^=/(o, j=-?(o, --^'Hn-
lie sera continue, si les fonctions /, cp, 'l le sont. Nous appellerons longueur d'un arc de cette courbe la limite du périmètre d'un polygone inscrit.
Des raisonnements identiques à ceux des n"^ lOo à 111
» montrent : 1° Que pour que cet arc s existe et soit une fonction continue de ^, auquel cas nous dirons que la courbe est rectifiable, il faut et il suffit que f(t), '-^(t), •l{t) soient continues, et à variation bornée; l i"" Que s est une fonction croissante de ^;
3'' Que si f{t)^ 'f (^)? '1^(0 admettent au point t des dérivées continues, s admettra une dérivée, égale à
