Revenons à la forme générale (2) des équations du
cycle. Les paramètres des points d'intersection d'une droite
Xi^ -h X27 + X3^ = o avec le cycle sont donnés par l'équation
(6) XiTi+X^T^+XaTa^o.
Si la droite passe par le point (xq, yo, Zq) origine du cycle, on aura
et si ar, br, Cr est la première colonne de coefficients qui ne soient pas proportionnels à Xq, jKo? ^o, le premier membre de (6) sera de la forme
L'équation aura donc /' racines nulles, qui se changeraient d'ailleurs en racines infiniment petites pour une autre droite, infiniment voisine de la précédente, mais ne passant pas par l'origine du cycle. La droite et le cycle doivent donc être considérés comme ayant r points d'intersection concentrés à l'origine.
Ce nombre sera accru si l'on a encore
Xia,.-4- l^b,.-^ ^3^,.=: O,
auquel cas l'équation de la droite sera
z z^ c Cette droite sera donc la tangente au cycle, et l'on aura
«r+p, b que l'on ait
r+pj «-r+p
étant la première colonne de coefficients telle
Jo b,. b,.^p
Cr
Le nombre des intersections de la tangente avec le C}'cle au point {xo, Jo? -o) sera donc r + p.
Les nombres r et p se nomment Vordre et la classe du cjcle.
Un cycle dont les équations ont été mises sous la forme canonique ( 3 ) a évidemment pour ordre r, pour classe /q — '-, et pour tangente la droite Y — Y^^a^H. — Xo).
561. Soient c et G deux cycles ayant même origine. Proposons-nous de déterminer le nombre de leurs intersections confondues avec l'origine.
Gomme il est évident qu'une transformation homographique change un cycle en un autre cycle, il est permis d'admettre que le triangle de référence ait été choisi de telle sorte que l'origine commune des cycles ne soit pas sur la droite z =: o, et que le point x = z =z o ne soit pas sur les tangentes aux cycles. La droite X = Xq (ou x^^qz) ne sera donc pas tangente aux cycles, et l'on pourra donner aux équations de c la forme canonique (3). Ses branches yjo, . . ., 'r\r i seront fournies par les formules (4), et le cycle sera représenté, après l'élimination du paramètre, par l'équation (5). Quant au cycle G, on pourra mettre ses équations sous une forme analogue
et il aura R branches Ho, ii^, ....
Les valeurs de t correspondantes aux points d'intersection des deux cycles seront données par l'équation
P(Xo+^^ Yo4-A^'''-hAo^^'--l-...) = o.
Le nombre des racines nulles [lesquelles se changeraient en racines infiniment petites pour un autre cycle
P(X, Y)-+-eP,(X, Y) = o
infiniment voisin de c et ne passant plus par l'origine Xq, Yy]
sera égal à l'ordre O du premier membre par rapport à Finfînimenl petit t.
Or, si l'on remplace, dans cette expression, t par
eir-(x Xo)^
auquel cas elle se réduira à
il est clair que son ordre en X — Xo sera devenu ^r-- Donc O est égal à R fois Tordre par rapport à X — Xq de la quantité
P(X,H,,) = (H,„--no)...(H,„-Ti,0
ou à l'ordre du produit
Si les cycles c et G n'ont pas même tangente, a et A seront différents, et, chacune des différences H/^i — 'r\n étant de la forme (A — a) (X — Xq) + • . . , l'ordre O du produit sera égal au nombre Rr des facteurs qui le composent.
Mais cet ordre s'élèvera si les cycles ont même tangente, car l'ordre de chacun des facteurs sera >> i. Pour l'obtenir, dans ce cas, il suffira d'évaluer l'ordre du produit
(Ho-7)o)...(Ho-r,,.-i)
et de le multiplier par R.
o62. Soit, pour fixer les idées,
iQo - ^0-H «(X — Xo) -h f<fo (X — Xo) " + . . . ,
celui des développements rjo, t],, ... qui a, au début, le plus grand nombre de termes communs avec Ho. Supposons que la coïncidence se maintienne jusqu'au terme
(7) aj,(X-Xo)'^'=rAj,(X-Xo)lf,
les deux termes suivants différant soit par l'exposant, soit au moins par le coefficient. La différence Hq — 7]o sera de
l'ordre /, / désignant le plus petit des deux nombres — —^
Ceux des développements r^m qui coïncident avec Tjo jusqu'au terme (7) inclusivement, donnent également des différences Ho — Tim d'ordre /. Il est aisé d'en trouver le nombre. En effet, m doit être tel que l'on ait
d'où
m/-Q^o, m/'i^^o, ..., m/'jj,,sE o mod/-
ou
md^ o mod 7-,
<i désignant le plus grand commun diviseur de Fq^ ..., r^. Cette congruence admet S^ solutions, ^^ étant le plus grand commun diviseur de r et de <f, ou, ce qui revient au même, de r, ro, ..., /V-
Considérons, en second lieu, les développements r^fji qui
coïncident avec yio jusqu'au terme a\i (X — X») '" inclusivement, mais s'en séparent au terme suivant, X étant l'un quelconque des nombres i, 2, ..., [x.
11 existe, d'après ce qu'on vient de voir, 8),i développements 'r\,n, où la coïncidence a lieu jusqu'à ce terme; mais on doit en exclure 8x pour lesquels la coïncidence subsisterait pour le terme suivant; il en reste donc 5x-i — h.t pour
chacun desquels Hq — 'f\m est d'ordre — •
Enfin il existera r — 80 développements pour lesquels la séparation a lieu immédiatement après le premier terme
aÇK — Xo) et pour chacun d'eux, Hq — 'cim sera d'ordre — •
Nous obtenons ainsi la formule suivante
563. Les mêmes considérations donnent la solution du problème suivant :
Trouver V ordre Ç^par rapport à X — Xq du produit
étendu aux diverses branches yjq, ..., 'r\r-\ d\in mente cycle c.
Les deux différences Tj^' — y,,, ^^-^fim^rh — 'fm^kt ne différant que par le changement de X — Xq en Q^(X — X„), seront du même ordre; Q sera donc égal à r fois l'ordre du produit
('^10 — ^ii)(irio— ^12). • .(r;o— T,,.i). Or, parmi les différences ci-dessus, il en existe, comme on l'a vu, /' — Oo qui sont d'ordre —^ et généralement Sx i — Sx
qui sont d'ordre — On aura donc ^ r
Q — (r — Oo)ro-i- \ (ox i — l\)rx.
Cette suite s'arrêtera d'ailleurs d'elle-même au bout d'un certain nombre de termes, car les entiers r, /'o? i\i f^i^ • • • ayant pour plus grand commun diviseur l'unité, les entiers ô finiront par devenir tous égaux à l'unité.
On peut d'ailleurs remarquer que, les seuls parmi les exposants/'o? f^\i • • • qui figurent effectivement dans cette somme, sont ceux qui ne sont pas divisibles par le plus grand commun diviseur des précédents et de r (car, pour les autres, 8x-i = Sx)- On leur donne le nom di exposants caractéristiques.
