Soit encore C un cycle ayant pour équations
^ : / : 3 : : Ti : Ta : T3
et pour origine le point (.ro, j^05 ^o)- Soit, d'autre part, f{x^y^ z)-=o une courbe algébrique. Les intersections de la courbe et du cycle seront données par Téquation
et le nombre de celles qui sont concentrées au point (^Q,yo7^o) sera égal au nombre des racines nulles de cette équation, c'est-à-dire à l'ordre dey(T<, To, T3) par rapport à l'infiniment petit t. Ce nombre N se nomme Vordre de /{x,y, z) par rapport à G; il sera nul, si la courbe ne passe pas par le point (^ojJKoj ^o)- Dans le cas contraire, cherchons à le déterminer.
Soient c,, Co, . . . ceux des cycles de y qui ont leur origine en (^'07 J'o7 ^o)- Nous pouvons évidemment admettre que ce point n'est pas sur la droite g = o, et que le point x = z = o n'est pas sur les tangentes aux cycles Ci , C2, ... et G. Les cycles Cl, Co, ... pourront être représentés par des équations de la forme
Pi(X,Y) = o, P,(X,Y) = o,
et l'on aura
f{x,y,z)=.z-f{X,Y, i)r.r-MP,(X, Y)P2(X, Y)...,
M étant une série de puissances de X et de Y qui ne s'annule plus à l'origine du cycle.
L'ordre de z et celui de M par rapport à G étant évidemment nuls, l'ordre de / sera égal à la somme ù des ordres Oi , O2, ... des cycles c^ C2, ... par rapport à G. Nous avons indiqué le moyen de les calculer (561-562). En particulier, si aucun de ces cycles n'a même tangente que G, ces nombres seront égauxàRri, Rro, . . . , R, /'<, ^2, . . . étant les ordres
respectifs des cycles G, C), C2, Leur somme sera
^{f^i -{- r.2-\- ' ' .) = Rm, m étant l'ordre de multiplicité du point (xq, j^q, Zq) sur la courbe/.
COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. 56g
565. Soient enfin deux courbes algébriques y*(^, y, z)= o et F(œ,y,z) = o se coupant en un point (^05 J^'o? ^o)- Soient Cl , C2, ... ceux des cycles de /, et C^ , C2, . . . ceux des cycles de F qui ont ce point pour origine. Le nombre des intersections de /avec F en ce point est évidemment la somme des nombres Q,, Og, ... de ses intersections avec les cycles Cl, G2, .. ., c'est-à-dire la somme des ordres de /par rapport à ces cycles. En la décomposant en éléments plus simples, il sera égal à Sa,pC)ap, Oap désignant le nombre des intersections du cycle C^ avec le cycle cp. Si ces cycles n'ont pas de tangente commune, O^p sera égal au produit de leurs ordres R^, r^. Le nombre total des intersections sera donc, dans ce cas,
ERa/p = sRaSA-p=Mm,
M et m étant les ordres de multiplicité respectifs du point (•^0) JK07 ^0) sur les deux courbes.
566. Appliquons les principes qui précèdent à la recherche de l'abaissement produit dans la classe d'une courbe / par la présence d'un point multiple A. Nous aurons à évaluer l'ordre de multiplicité de A comme intersection de /"et de la polaire
ox ' dy dz
où a, jB, y sont des arbitraires.
Supposons encore : i" que A ne soit pas sur la droite ^ = 0; '1° que les tangentes à /en A ne passent pas par le sommet x =^ z ^= o. Les coordonnées (Xq, Y,,) du point A auront des valeurs finies, et les cycles c<, c^, ... de / qui ont leur origine en ce point, n'ayant pas X — X^ pour tangente, leurs diverses branches auront des développements de la forme
(8) ri=:Yo+a(X-Xo)-i-ao(X-Xor-h....
et,
en
dérivant,
àf
dX'
àf ày
df dz "
HZ"-
Posons maintenant
On aura
dY' ÔF ÔF
Substituant dans cp et mettant s"~^ en facteur commun,
il viendra
<.{a',y,z):=:z-^^{X,Y), où
*(X,Y)=:(a~fX)g+(?-YY)^+-r«F.
Il faut trouver la somme des ordres de z> par rapport aux
cycles Cl , Co, Or ces ordres sont nuls pour le facteur z^~^ ,
la droite 5 = o ne passant pas par l'origine du cycle. Quantau second facteur, cette somme sera égale, ainsi que nous l'avons vu, à l'ordre en X — X^ du produit
*(X, r,o)*(X, ïlO--.,
ou
Li 7,0, Tj,, ... sont les diverses branches des cycles c^,
On a d'ailleurs
F(X,Y)=:M(Y-r,o)(Y-riO...,
M étant un facteur qui ne s'annule plus pour X = X( Y = Yq. On en déduit, pour Y = 'r\Q^ par exemple,
F = 0, ^ = — Mo (t,o - T)i ) (7)0 — -^2 ) . . . ^ ^
dF
^ — Mo(y1o— ^i)("^o--'n2).--,
COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. 5jl
Mo ne s'aniiLilant pas pour X = Xo- En SLibstitiiant ces valeurs dans l'expression de <ï>, il viendra
*(X, r„)= ["(yX - a) ^ 4- l3 - Tr.o] Mo(r.o- ^n) (r.o
Or le facteur entre parenthèses est de degré zéro, car, d'après la forme (8) du développement de 7)05 i^i cette expression, ni sa dérivée ne contiennent de puissances négatives de X — Xo, et le coefficient du terme de degré zéro, contenant l'arbitraire [^, ne s'annule pas en général; Mq est aussi de degré zéro. L'ordre de <Ï>(X, 7]o) est donc celui du produit (tIo — "^ii)('^io — ''^2)---* Raisonnant de même sur chacun des autres facteurs ^(X, r^i), . . ., on trouve que l'ordre de multiplicité cherché est celui du produit des différences
'fïi — 'r^^k'
Considérons celles de ces différences où 'r^ appartient à un cycle Ca et r;/^ à un autre cycle c^. L'ordre O^p de leur produit a été déterminé plus haut. Celles où r^ appartient à cp et 7]A àCa donneront encore nn produit d'ordre Oap. Enfin celles de ces différences où 7]^ et'f\h appartiennent à un même cycle Ca ont un produit dont l'ordre Qa a été également déterminé.
Le degré de multiplicité cherché sera donc
Dans le cas particulier où tous les cycles sont d'ordre i, et où leurs tangentes sont distinctes, les Qa seront nuls et les Oap égaux à l'unité. L'expression ci-dessus deviendra donc m^in — i), m désignant le nombre des cycles ou le degré de multiplicité du point considéré.
567. La somme des ordres d'un polynôme homogène o(x, y, z) de degré m par rapport à tous les cycles d'une courbe de degré 7i est évidemment égale à mn^ nombre total des intersections des courbes /et cp.
L'ordre du quotient de deux polynômes étant la différence
de leurs ordres, le théorème s'étend immédiatement au cas où cp est une fraction rationnelle homogène.
En particulier, une fonction o rationnelle en X, Y, étant rationnelle et homogène de degré zéro en ^, jk, s, la somme de ses ordres sera nulle.
Enfin ce résultat s'étend encore au cas où 9 contiendrait,
dY d^Y outre X, Y, les dérivées -jtf ? -tt^' ' • ' l car, en dérivant Fé-
quationy(X, Y, i)r= o, on obtient pour sions rationnelles en X, Y.
dY^
dX'
• • des expres-
