Ce résultat, appliqué à la dérivée -7^ ? va nous con

dX'

duire à la détermination précise du nombre des inflexions d'une courbe donnée/'.

Les coordonnées ^, y^ z^ dans les équations d'un cycle, étant exprimées au moyen d'une variable auxiliaire ^, nous

devons tout d'abord exprimer -rr— en fonction des dérivées ^ dX^

x\ y, ^', x\ y" ^ z\ prises par rapport k t. '

On a tout d'abord

dX'- ~

puis

zx' —œz'

^„zx'-xz"

zy"— yz"

ZX' — xz'

et, en substituant,

dX^

{zx' — xz'y

D désignant le déterminant

Calculons la somme des ordres de cette expression. " Pour le facteur s^, cette somme est 3n, n désignant le degré de /.

Soit, d'autre part, c un cycle de /d'ordre r et de classe p. On pourra, à cause de la symétrie de D par rapport aux coordonnées, admettre que ses équations sont réductibles à la forme canonique

(9) œ :y : z :: Xo-i-^'": Y^-haf^aQ^-^P-h. . .: i.

Les seconds membres, substitués dans D, donneront un résultat de la forme

l'ordre de D par rapport à c sera donc 2r + p — 3.

569. Cherchons enCm l'ordre de (zjc' — xz'y. On a, pour le cycle c,

zx' — xz' — rV-^,

XJ-' — yj.-' --- (<2Xo — Yo)r^'"-^H-

La plus haute puissance de t qui entre en facteur commun dans ces trois quantités sera t^~^ . La symétrie du système de ces expressions par rapport aux coordonnées montre que ce résultat subsiste pour tout cycle de/*. Car ceux qui ne sont pas réductibles à la forme canonique (9) le seraient à une forme analogue où les variables seraient seulement permutées. On a donc, quel que soit le cycle considéré

yz' ~ zr' — V'-'^Q^, zx'— xz'=i f-^e,, xy' — yx' =z f'-^e^,

©1 , O2J ^3 étant des séries de puissances de ^, dont l'une au moins n'est pas privée de terme constant; et l'ordre de zx' — xz' sera égal à r — i 4- Wo, W2 désignant l'ordre de ©2-

L'ordre de , , tttj P^^' rapport à c sera donc

^ ZX — X Z j

5y4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

La somme des ordres de -r^i par rapport à tous les cycles

de / étant nulle, on aura

(lo) o = 3/i-i-S(p — /') — 3Sw2,

les sommations étant étendues à tous ces cycles.

570. Il reste à déterminer la somme Stoo. Pour cela, considérons la courbe cp, polaire réciproque de /, dont chaque point («, V, (v) est lié au point (^, y, z) par les relations

. . . àf . df . df ôx ay ôz

o 1 111 ^ p àf df df

Sur chaque cycle c de la courbe/, -y—? y-? j- seront proportionnels à j^' — s^, ^^' — ^^', ^y' — yx^ et, par suite, à B<, 02? ^3- Au cycle c correspondra donc sur cp le cycle y défini par les équations

et (O2 représente le nombre des intersections de ce cycle avec

la droite v^o. La somme Scoocst donc égale au nombre total

des intersections de v et de $, soit au degré de cette dernière

courbe ou enfin à la classe v de/.

Nous aurons donc, en remplaçant StOo par sa valeur dans

l'équation (10),

ou, en décomposant la somme S(p — /•) en deux autres, l'une S' relative aux cycles des points multiples, l'autre S' relative à ceux des points simples, et remarquant que, pour ces derniers, r = i

(I 0 ^''(? - i) = 3( V - Al) - Z'(p - r).

Or, pour un point simple, p représente évidemment l'ordre de contact de la courbe avec sa tangente ; les points d'inflexion sont ceux 011 cet ordre est >> i. Si donc nous convenons de considérer ceux où ce contact est d'ordre |jl -\- i comme re-

présentant ^ inflexions confondues, la somme 2''(p — i) ne sera autre chose que le nombre des inflexions, et ce nombre sera donné par la formule (i i).