III. — Transformations birationnelles du plan

571. Les transformations homographiques sont un cas particulier de transformations plus générales, étudiées par M. Gremona, et dont nous allons dire quelques mots.

Considérons les courbes d'ordre n assujetties à avoir a^ points simples, 0.2 points doubles, ..., enfin a.fn points multiples d'ordre m, donnés de position, et dits points fondamentaux, les entiers ai, . . ., (l^ satisfaisant aux deux équations de condition

m Zj 2 2

La sujétion d'avoir un point n donné de multiplicité k

s exprimant par équations linéaires et homogènes

par rapport aux coefficients, les courbes cherchées contien-

, Ai(/l--i-l) r«(/i-M) „1 ry rn •

dront encore — — ^ = ô coeiiicients

arbitraires, dont elles dépendent linéairement. Leur équation sera donc de la forme

fil /2J fs éLant trois courbes particulières du réseau. Nous admettrons que les polynômes f, /o? fa n'aient pas de facteur commun.

Posons

x\y\ z' désignant des indéterminées.

Les polynômes /, , /o, /a étant d'ordre n, les deux courbes ll-fl A -Il

se couperont en n- points; mais un seul de ces points variera avec x' ^ y\ z' . En effet, soit p l'un des aA points fondamentaux d'ordre k. Étant multiple d'ordre k sur chacune des deux courbes, il représente k'^ intersections. Le nombre des

intersections fixes de position sera donc \ A^-a;^ ou n- — i.

Soit (^, j', z) le dernier point d'intersection, variable avec

x\ y\ z' \ ses coordonnées '— ? — s'exprimeront rationnellc-

x' y' ment en ^, ~ par des fractions qu'on peut réduire au même

dénominateur; on aura, par suite.

cp,, '^o, ^^3 étant des polynômes homogènes en ^', y' , z' et de même degré.

Nous obtenons ainsi une liaison birationnelle