IX. — Fonctions élémentaires

114. A-vant d'aller plus loin, il convient de passer en revue certaines fonctions particulièrement simples, que l'on désigne sous le nom de fonctions élémentaires.

Fonctions rationnelles. — Considérons l'expression Ax", où A est une constante et n un entier. En lui appliquant la règle du n" 75 pour former la dérivée d'un produit, il

viendra

h.X'^ XXX

(A^«)' --/iA^«-^ La dérivée d'un polynôme entier

sera donc

Celle d'une fonction rationnelle -•> quotient de deux poly-

nomes, s'en déduira immédiatement (75).

H5. Logarithme. — On donne le nom de logarithme arithmétique de x k \ïi fonction déilnie par l'équation

Los: .37

là variable x étant supposée positive.

Cette fonction a pour dérivée —■> et s'annule pour x =^ i .

Elle est d'ailleurs croissante.

On a, d'après cette définition, y désignant une seconde

VARIABLES RÉELLES. lOQ

variable positive,

dxy dx dy ,, ,,

<iLo2:^v= — - ~ h -^ zzzdLogx -\- dLosy,

^ ^ xy X y

d'où

Log^r = LogcT H- Logy + G.

Pour déterminer la constante C, posons ^ = i , jk = i ; les logarithmes s'annulent tous; donc G = o, et

(i) Log^/=z:Log^4-Log/.

Pour la valeur particulière y =: , cette équation devient

(o.) Logj; + Log — = o

Si X tend vers oo, il en est de même de son logarithme. Soit, en effet, a un nombre quelconque >> i; dès que x sera devenu plus grand que a'% on aura

Log j:^ >> Loga'^ >■ n Loga,

quantité qui tend vers oo avec n^ Loga étant positif.

Si X tend quation (2).

Si X tend vers o, Log\r tendra vers — oo en vertu de l'é-

116. Exponentielle. — Le logarithme de fonction croissante, ne reprend pas deux fois la même valeur. Il a donc une fonction inverse. On la nomme /b/ic^/o/i exponentielle , et on la représente par e^ . Cette fonction est ainsi définie par l'équation

X = Log/.

Elle croît avec x^ est égale à zéro pour ^ = — do; à i pour ^ = o ; à GO pour ^ = + ce. Pour ^ = i , elle prend une valeur déterminée e, que nous calculerons plus tard.

O PRKMifcRE PARTIK.

Elle a pour dérivée