Considérons l'arc de courbe représenté par l'équation

Aux deux extrémités de cet arc, on a respectivement

œ^kr.— -, Il r-sin(A-Tr— ^) — — (— i)/^

jc—kr.-^-j f/ =sin( 7^71+ - ) r= (— i)^'.

Si donc A- est un nombre pair -im^ on aura pour ur=i^ :r 1= 2 /?i T 4- - j

et pour « = — I,

Donc

Au contraire, si k est un nombre impair 9.m -|- i, on aura

11 résulte de ces formules qu'on a

L'arc de courbe, représenté par l'équation

.-r — cp /,(«),

se raccordera donc à ses deux extrémités avec les arcs représentés par les équations

On se trouve donc naturellement conduit à considérer l'ensemble de ces divers arcs comme constituant une courbe unique dont ils seraient les tronçons, et les fonctions o/i{u) comme formant autant de branches d'une fonction unique, laquelle aura pour chaque valeur de u une infinité de valeurs J. — I. 8

distinctes, au lieu d'une seule, comme nous l'avons admis jusqu'à présent. Cette fonction, inverse de sinj', se représente par arcsin^; et nous désignerons par Arcsin^î; celle de ses brandies c[ui correspond à /c = o.