X. — Dérivées et différentielles d'ordre supérieur
123. Soit u =zf{x) une fonction de x^ ayant une dérivée u' . Si cette nouvelle fonction admet elle-même une dérivée, on la représentera par u" , f"{x) ou T>^u et on l'appellera la dérivée seconde de u.
La dérivée de lê^ sera la dérivée troisième de w, et se représentera par u!" ^ f" [x) ou D-^w; et ainsi de suite.
La différentielle u' dx de la fonction u est une nouvelle fonction de x dont on pourra chercher la différentielle. Cette nouvelle différentielle dépend de la relation qu'on voudra établir entre la variable x et l'accroissement dx qu'on lui fait subir. Si l'on admet que cet accroissement ait une valeur constante, indépendante de x^ cette différentielle sera évidemment égale à u!' dx .dx = u" dx'-.
Or soient D le domaine dans l'intérieur duquel f{x) est supposée définie; E l'ensemble des points intérieurs dont l'écart à la frontière est moindre qu'un nombre fixe 8; pour tous les points de E, on pourra, sans risquer que x -\- dx sorte du champ, assigner à dx une même valeur constante de module << ô ; <ijc étant ainsi constant dans E, la différentielle de u' dx y sera égale à u'^ dx . dx := if dx- . Cette expression se nomme la différentielle seconde de m, et se représente par d-u.
Si l'on fait décroître 3 indéfiniment, E s'étendra de manière à englober successivement chacun des points intérieurs à D; ce qui permettra d'étendre la définition précédente de d- a à tout l'intérieur de D.
De même, d- a aura une différentielle ii"dx'^\ ce sera la différentielle troisième de ?/, et on la représente par d^ u . Continuant ainsi, on aura
du = a' dx, d^ u ^=z a" dx- ,
d" u — u^''Ulx'\
jl6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
Chacune des dérivées successives de u est ainsi un quotient de différentielles, ce qui donne une nouvelle manière, très souvent employée, de représenter ces quantités.
124. Si l'on donne à x un accroissement A^, la fonction f{x) prendra un accroissement
que nous appellerons la différence première de/(^).
La différence de la différence première sera la différence seconde, et se représentera par A^/(^), et ainsi de suite.
Posons, pour abréger l'écriture.
On aura, d'après la définition précédente,
ou svmboliquement
(2) /-= (I -H A)/«-i=(i-f- Ar-/"-^-=.. •==(! + ^)"/'*- On aura réciproquement
et généralement
A, B, . . . , K étant des coefficients numériques.
Pour les déterminer, prenons la différence des deux membres de l'équation (3). Il viendra
Mais l'équalion (i) peut être mise sous la forme symbolique
Donc
On aura donc, en changeant /i en n — i, . . .,
(4) y^r= (/- 1) A'-V'=- • • = (/- O'^-^ A/o= (/- ly ,
pourvu que, le développement effectué, on remplace le dernier terme ( — i)'' par ( — i)"/"-
12o. Les signes d'opération D et A peuvent être permutés entre eux; car on a évidemment
