AA

Posons, pour plus de clarté,

^1/(^.7) = ?('^.'7)- On aura

^Ai/(^,y) — cp(^ 4- A^,7) — cp(^, 7)

= fxy{^ + ^ ^-^r 7 H- ^1 ^7) ^7 ^■^-

Donc

Si la fonction f'^y. est continue au point x^ y^ on aura, en faisant tendre A^ et Aj' vers zéro,

Si f'yxi^ty) est continue au point x^ >', on trouvera de même

et, en vertu de l'égalité (6),

Nous obtenons donc le théorème fondamental suivant :

Théorème. — Si les dérivées partielles f'^^ f'y^ f'^y^ f'yj. existent aux environs du point x^ y ; si, de plus, /'^r' f'yx sont continues en ce point, ces deux dérivées partielles seront égales.

On voit par là que deux dérivations successives, opérées par rapport à deux variables différentes x^y^ peuvent (sous les conditions précédentes) être interverties sans changer le résultat final. On en déduit

L ^ " ' âx'" df" dxi* ... "" dx'"^!'-' ■ ■ ■ dy"-^ ■ ■ ■

en opérant d'abord toutes les dérivations relatives à x, puis celles relatives à r.