On voit aisément qu'on aura en général
A/n-hfi
A'« A'.' f(x, y) = ■ — fiœ ■\- t A^, y + ^. Ar) ^x'" Ar"
étant compris entre o et /?î, /) en ire o et /?. Si donc la dérivée partielle d'ordre m -\- n, qui figure au
'20 PREMIÈKE PARTIE. — CHAPITRE I.
second membre, est continue au point ^, jr, on aura, en faisant tendre Ax et ày vers zéro,
(10) ^ =: hm -^— i^ .
dœ'"^ Oy" Aj?'" A/«
Ji29. Considérons maintenant la différentielle totale
a/ = — dœ -f- -i- «r ox ôy '^
de la fonction /(^, )). La différentielle de cette différentielle, prise en supposant dx et «[/ constants, se nomme la différentielle seconde de/, et se désigne par d- f. La différentielle de <i-/sera la différentielle troisième r/^, et ainsi de suite.
On a, d'après cette définition,
et, plus généralement,
d"'f— -,-^ dx'" -h /?i -^- '—— dx"'-' dy + . . .
i .2. . . /t âx'"—'' dy"
dx'"-" dy"
d"'f , dy'" ^
ou, sous forme symbolique,
(M) rf'V--=(;,lrf-+|;<v)7.
Cette formule étant vérifiée pour <://et d-f, il suffira d'établir que, si elle est vraie pour un nombre /?i, elle sera vraie pour m + i .
Pour cela, différentions cette formule. Nous obtiendrons
VARFABLES RÉELLES. 121
évidemment un résultat de la forme
11 reste à vérifier l'expression des coefficients numériques A.
Or, le terme général
Ain^\ f
provient de la différentiation par rapport à x du ternie en dx^~^^ dy^ de l'expression de d"^z et de la différentiation par rapport ky du terme précédent. Ces termes ayant respectivement pour coefficients
mi m — \). . .{m — /i -f- i) m {m — \) . . .{m — n -\- ^y^
K,i sera égal à la somme de ces deux quantités, soit à
in{ï)i — \) . . .{m — Il -\- i) ( ni — /i -h i
i .2. . . n ce qui confirme la formule.
130. Soient u et v deux fonctions d'une ou de plusieurs variables. On aura généralement
[ d"^{uv) = (^ d"^ u H- m d"^~^ a dv -i- . . . (12) < jn{rn~\)...{ni—n^i)
d'"--"ud"v-\-...^~u.d"'v
En efïet, A?^, Ac^ étant les accroissements de u et de p, on aura
A(mç^) z^ (« + Aw) (p h- A(^) — UV ::==. V ^U -\- U \Ç -i- Aw Ap.
Négligeant le terme du second ordre ^u Aç>, et remplaçant
A^^, Aç par leurs valeurs principales du et ^/p, on aura, pour valeur principale de Awp,
duv =. ç du -h u dv,
ce qui confirme la formule pour m == i .
D'ailleurs, en la supposant démontrée pour le nombre m, on verra, comme précédemment, qu'elle est vraie pour ?n -{- i,
131. Plus généralement, soit V = /(w, p) une fonction quelconque de u et de ç, u et ç étant encore des fonctions d'une ou de plusieurs variables indépendantes x, y. Proposons-nous de déterminer les différentielles successives de Y.
On a pour la différentielle première, ainsi que nous l'avons vu,
dWz^z^du-^^ds^.
ou ov
Pour calculer la différentielle seconde <f- V, il faudra diffé-
rentier cette expression. Or /- et -^ sont des fonctions de «, ^ du dv
V, qui ont respectivement pour différentielles
-^^„ du -h - — ^ dv, -— — du + -^ dv.
D'autre part, du, dv dépendent àe x, y, ... et ont, par définition, pour difFérentielles <i^w, d'^ç. Appliquant la règle trouvée pour différentier un produit, il viendra donc
du'^ ôuôv y \dudv âi^
d^N — [ -^-4 du -f- -t— 4- dv \du -\-[ ^-Ar du + Vr dv dv u- ou ov
-H -~ d^ u 4- -— d- (' ou ov
— -;r4 du^- -\- 2 , ■' du dv -t- -v^ dç--\- -f- dhi + -f '^ ^'• OU' ou dv oV ou ov
Une nouvelle différentiation donnerait <i^V, et ainsi de suite.
On voit, par les formules qui précèdent, que dY a la même forme que si w, ^ étaient des variables indépendantes; mais il n'en est pas de même des différentielles suivantes : d-\ ^ par exemple, contient des termes en d^u et d'^ç qui n'existeraient pas dans cette hypothèse.
XL — Changements de variables.
132. On a souvent l'occasion de substituer aux variables qui figurent dans une formule de nouvelles variables ayant avec les premières une liaison connue. Nous sommes actuellement en mesure d'indiquer les règles à suivre pour effectuer cette opération lorsque les fonctions à transformer contiennent des dérivées. Nous allons les exposer en commençant par les cas les plus simples.
Problï^me I. — Soit y = F(^) une fonction de x
,, . , . dy d^y ^
ayant pour derwees successives -j-y -— , . • • • Supposons
que x^ au lieu d'être une variable indépendante, soit luimême fonction dhine nouvelle variable t^ et soient x' , x" ^ . . . , y' ^y" , ... les dérivées successives de x et de y par rapport à t.
On demande de trouver les relations qui existent entre
y étant, par rapport à ^, une fonction de fonction, on aura, par la règle connue,
dy dx
Dérivant de nouveau par rapport à /, en remarquant que cly -T-^est une fonction de x^ qui est lui-même fonction de ^, on
aura
Dérivant encore, on trouvera
ax^ dx^ dx
r> , 1 , . , dy, d^ y
Kesoivant ces équations par rapport a -—-^ ;7^ • '■'' ^"
trouvera réciproquement
. . dy y' d^-y x' y^' — r'^"
^'^ Tx~'x'' dx'' ~~ ' x^' '
On remarquera qu'en appelant d^x^ d\x^ . . ., d^y^ d\y les différentielles successives de x et de y par rapport à la nouvelle variable t, on aura
'- dt'
X"zzi
dv-
dy y^
dx x'
dxy
dyX dt d'où
Donc la dérivée de j^ par rapport à x reste égale au rapport des différentielles de x et de jk, quelle que soit la variable indépendante.
L'expression des dérivées suivantes est au contraire changée. On aura, par exemple,
d''-y d^xd\y — d^y d\x
dx^ dy x'^
133, Problème T[. — Soit, comme précédemment, y z=z F(^). Posons
(2) ^ — f{t, II), y^o{t, u).
Nous aurons trois équations entre x^y^ /, u. On peut donc considérer x,y, u comme des fonctions de t. Gela posé, on
demande d^ exprimer -^-i -—•, ••• en fonction de t, u, ^ dx dx' ''
du d^ u Tt' Iw-' ""
Prenons les dérivées successives des équations (2) par rap- ])ort à ]a nouvelle variable indépendante t. Il viendra
dt du dt
, ^'f d'o du
•^ dt du dt
„d'f d\f du dy^du^ ^L ^
^ ~ W^ "^ ^ dTdTf dt ^ jtr^ df "^ du df
-^ ~ ~dt- "^ ^ dTdu 'di~^ dTû 'cW- ~^ ^ "^^^
On n'aura plus qu'à substituer ces valeurs dans les expressions (i).
134. Applications. — i"" Soient œ = p cosB, )' = 0 sinB. On demande l'expression de la quantité
/ dy^y^
(nous la rencontrerons dans la théorie des courbes, sous le
dlp d^
nom de rayon de courbure) en fonction de 0, 8, -^; -~
On aura
I do ^ • n
x ^i: — cosO — p sinB,
do
r' =^ ^ sinO + p cosO,
d^P ^ dp . ^
œ' z^ — -cosO — 2-7- S1116 — p cosO, d^' «6
y" — -~ sin 6 -i- 2 -^ cosO — p siii 0
et
^-'j"— j'j?"=:( -j^cosô — p sinO j ( — I sinô + 2 j^ cosG —0 sin6
dp . ^ ^\ (dr-ù ^ dp . ^
-^ sin 6 + p cos 6 -7-^ cos 6 — 2-7^ sin 6 — p cos 0
dp'- d^p
dp^ d' p ^62 ' db'
13o. 2" Ze^ deux variables x et y étant liées par une équation, on demande d^ exprimer les dérivées x' ^ x" , . . . de X par rapport à y en fonction des dérivées y\ y''. . . . de y par rapport à x.
On a, par le théorème sur la dérivée des fonctions inverses,
Prenons la dérivée de cette équation par rapport à la nouvelle variable indépendante jk- En remarquant que jk', J ', • • • sont des fonctions de x^ qui lui-même est fonction de y, le théorème sur la dérivée des fonctions de fonction donnera
nf.'l
ya
rzz.
— yr-
VARIABLES RÉELLES. lin
136. Les fonctions de plusieurs variables donnent lien à deux questions analogues, que nous allons traiter.
Problème III. — Soit z une fonction de deux variables x^ y. On pose x^=f{t^ u), y = cp(^, u), t et u étant deux nouvelles variables. On demande d^ exprimer les dérivées par-
. ,, dz dz d^z ô^z d'z r • /
/celtes -r— 5 -.— j -T-^j , , , T— 7> ••• <^'^ fonction de t, u, ax ôy ax^ ox ôy ôy^
dz dz â'z âù du ât^
z étant fonction de x, y, qui sont eux-mêmes fonctions de t^ u^ sera une fonction composée de ces deux nouvelles variables. Prenons ses dérivées partielles successives; il
viendra
dz dz dx dz dr
dt dx cit ' dy dt
i dz dz dx dz dy \ du dx du dy du
dz dz 1 r • 1
puis, en remarquant que ^r-j -c-- sont des lonctions de^, r,
eux-mêmes fonctions de u et de k,
^'i — f^ll ^ ^'^ ày\ dx dz d'-x
dt"- ~ V^^' ^^ ~^ (^-^dy dt) dt "^ dx ~dF
d'-z dx d'-z dv\ dv dz ^2
I dt
dx dy dt dy'"- dt J dt dy dt d'z (dxy d'-z dx dy d'^
dx'^ \ dt J dx dy dt dt dy
dz d^x dz d^y '^ dx'dF ~^ dy W
d^z d^z dx dx d'^z /dx dy dx dy
dtdu dx^ dt du dxdy\dt du du dt
d^z dy dy dz d^'x dz d^^ y
dy''^ dt du dx dt du dy at ou
d^d^fdxY d'-z dx dy ^^/^V
du'^ dx^\duj ^ ox dy du du dy^\duj
dz d^x dz d'^ y
dx du^ dy du^
On calculerait de même les dérivées troisièmes, etc.
Cela posé, les équations (3), linéaires en -y^» — ^j'permettent
1, • . , e • 1 dz dz , ^ , .
a exprimer ces quantités en lonctions de -r-? -v- et desden- ^ ^ dt du
Yées partielles de x et y^ lesquelles sont des fonctions con-
11^ -Il ' dz dz
nues de t. u. Portant ensuite les valeurs trouvées pour -r— ? -v-
^ ox ôy
dans les équations (4), (5), (6), on pourra les résoudre par
rapport a ^^ — :> -r — ~y -^ — -; de même pour les dérivées des ^ ^ ox'^ doc of âf- ^ '
ordres supérieurs. ■
Cette méthode est évidemment applicable à des fonctions d'un nombre cjuelconque de variables.
