Remarque. — On ne doit pas perdre de vue que la

dérivée partielle y^ d'une fonction de deux variables ^, y

est, par définition, la dérivée de z considéré comme fonction de x^ y restant constant. Si nous remplaçons y par cp(^, u)^ de telle sorte que les nouvelles variables indépendantes soient X et u, la nouvelle dérivée partielle par rapport à x sera la dérivée de z par rapport k x^ u restant constant. De ce changement de définition résulte naturellement un changement dans la valeur de cette dérivée partielle. Soit, par exemple, z = F(x, y). On aura

âx âx Mais, après le changement de variable, on aura

dz âV dF d'^

z — 1^ [x, cp(^, U)\, -— = 'r~ -^ -^ .

. f- ' ^ dx dx do dx

138. Exemples. — i" Soient x,j'^ z trois variables indépendantes. Posons

X z=i at ~[- bu H- ce, y = a' i -\- b' u -h c' V,

zz=za'U-\- b" u + c" V,

VARIABLES RÉKLLES.

<7, ^, c, . . . étant des constantes choisies de telle sorte que 1; substitution soit ortliogonale, c'est-à-dire qu'on ait

Cette condition fournira le système d'équations suivant,

ab + a'b'

zzz 0,

bc-^ b'c

CCI + c' a'

ou le suivant, qui lui est équivalent, comme on sait.

rt^+ h'- -h C'2

a aa

a' a" 4- b' b" -f- c' c" ^rz o, «" <7 + b" b -r- c" c -=■ o.

Soit maintenant V une fonction quelconque de x, )', z Considérons les deux expressions

dx) ~^\dy) '

[âz

âv-

dz^'

qui se présentent dans un grand nombre de problèmes, et que M. Lamé a nommées les paramètres différentiels du premier et du second ordre de la fonction V. Proposons-nous de les exprimer au moyen des dérivées partielles de V par

l3o PREMIÈRE PARTIlî. — CHAPITRE I.

rapport aux nouvelles variables /, u^ r. On aura dt dx ôy dz

du àx dy Oz

rjr àx à y Oz

ÔF^ n^^ '^''^ùy^'' ôxôz

-^-^'<%:z^-^" Dy^ """ àJT.

â^y , (Py „ d'y

- «2 -V- rt'2 | a'- -c—

r;^2 ^jji ()3-

ô-y , n (py „ ^'"^

^j? dy à y dz Oz <)x

dii^ Ox' Oy Oz'

(^.r ^ / 6^.>' ^^ 0^- Oj

(py ^., (Py ^ ^^,, ^ ^ ^.,, r^

(^t^- " ^ Ox' Oy' Oz'^

()^^/ (^/d- t'SC'X

Ajoutons les carrés des trois premières équations. Il viendra, en tenant compte des équations (-),

ïï)'H£)'-i>)'KS)'KSy-(ï)'

Les trois suivantes, ajoutées ensemble, donneront de même

d'y d'y (PX „ ^^H ^^ ^ ^.

"dF ~^ dlP ~'' dv' ~ dx' dy' dz'

VARIABLES RÉELLES. l3l

La forme des paramètres différentiels n'est donc pas altérée par une substitution orthogonale eff'ectuée su/- les variables, et c'est à cette circonstance que ces expressions doivent leur importance en Analyse.