Posons

j7 = p sin6 cos6, / — p sinO sinJ;, s = p cosô,

et proposons-nous d'exprimer les paramètres différentiels de V en fonction des nouvelles variables p, 0, d;.

Le changement de variables qui précède équivaut évidemment aux deux suivants, opérés successivement

y =z /• sin-!/, z z=z z

/' — psinO, •} — 6, ^ — pcosô.

Effectuons le premier changement de variables. 11 viendra

<)r dx ' dy ^

()y àV . , r}V

(J'\' Ox ()y ^'

Oi OX' Ox Oy ^ dy-

d'Y <PV , . ,, à'V d-\

c/'-p- 6/x- Ox Oy ôy-

— -z— /'coso — - /-sin-J;.

Ox Oy ^

On en déduit immédiatement

â\y T fovy fovy /ôwy

Or' ~^ r' O'I' "^ /■ })r ~ 0^ ~^ ~0y^ '

n' -Il ^^^ (PV .

bailleurs, -— et - — - n ont évidemment pas changé. J.es

l32 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

paramètres différentiels deviendront donc respectivement

Le second changement de variables qui nous reste à effec-

^ = pcosO, r=::psinO, '1^ = 4''

n'altérera évidemment pas jj, -j^ et transformera respectivement

dvy fd\y f^^'\\ ' /^^^\'

1 — ^ — en -r-— H :; -T7-r H t~ '

(^/•2 ()^2 ^p2 pi (^0- p dp

Enfin on aura les relations

-— r= -— cosO -h -^sinO, âp â::^ or

— = — p sinO + -T-? cosO,

de dz ' d/-

dV d\)ù l'on déduit, en éliminant -y^j

ây . ,ây cosO dV âr dp p dO

Substituant ces valeurs dans les expressions précédentes on aura, pour le premier paramètre différentiel,

\àp J p' V^V p'sin-0 V à<h et pour le second

d'y I d'V T d^V 9. âV cotO dV

dp^ "^ ^ "dë^" "^ p-^sin-^O "d^ ^ ? ^ p' <^^