Problème IV. — Soit z une Jonction de x^y. Posons

(8) JC—f{t,U,v), yz=zo{t,U,ç), Z=z'h{t,U,ç),

d^ dz On demande d^ exprimer les dérivées partielles -r^? — ?

' dx dy

)- " — ^, ) ••• en fonction de t^ u^ ç et des dérivées partielles

dv d^i d^ dt du dt^

z étant une fonction de x^ y^ les quantités x^y, v seront des fonctions de t et de u, en vertu des trois équations (8). Prenant les dérivées partielles de ces équations par rapport à ces nouvelles variables, il viendra

dx

dt

df df dv " dt~^ dv dt '

dx df df dv du du dv du'

dy dt

d^ d'f dv ~dt~^ Tv Tt'

dy do do dv du du du du

dz dt

d^ d'\ dv ~~dt^ Tvdt'

dz d'\> d'^i dv du ~~ du dv du'

d\f ^ ^ d\f dv ' dt' ' ^ dt dv dt

dVfdçy df d^v '^ dv' \dt) "^ dv dt-'

On n'aura plus qu'à substituer ces valeurs dans les équations (3) à (6), lesquelles détermineront —? — , -.-^ ,

dx dy dx'^

XII. — Changements de variables dans les intégrales définies.