Soient ^ et ^ deux variables, liées par la relation

Nous admettrons que pour tous les points t d'un domaine borné E ; i° la fonction co conserve une dérivée continue et

l34 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

difïerenle de zéro; 2° à deux valeurs distinctes de / correspondent deux valeurs de x toujours distinctes.

Cette seconde condition serait, d'ailleurs, une conséquence de la première si E était d'un seul tenant; car il serait formé des nombres compris entre deux nombres fixes ^0, T, et si X prenait la même valeur \ pour deux valeurs différentes /< et t.^ de la variable t^ x — \ s'annulant pour ces valeurs, sa dérivée '^'(^) s'annulerait pour une valeur intermédiaire, ce qui est contraire à notre première hypothèse.

A l'ensemble E des points t correspond un ensemble E' de points x^ et si t décrit un ensemble parfait E,, de longueur mesurable et intérieur à E, x décrira un ensemble parfait E'^, intérieur à E'.

Soient

/ un point de E, ;

/ -h dt un point infiniment voisin ;

X et ^ -I- A^ les points correspondants.

Ou aura

W tendant uniformément vers zéro avec dt dans le domaine E,. Si donc dt reste inférieur à un nombre fixe convenablement choisi, R sera constamment moindre qu'un nombre

arbitraire £. Le rapport ' — , restera donc compris entre

I -^^ I M -}- £ et m — £, M et m désignant le maximum et le minimum de I cp'(^) |.

On en conclut que E', a une longueur mesurable. Décomposons, en effet, la droite lieu des points t en éléments infiniment petits dt^^ dt^t .... La somme des éléments qui contiennent des points de la frontière de E, sera infiniment petite. Soit dtk l'un de ces éléments; les points de E, qu'il contient étant à des distances au plus égales à dtj^ de l'un d'entre eux ^a, leurs correspondants seront à des distances du point Xk qui correspond à t^ moindres que (M-+- ^)dt/^;

VAKIABLES RÉELLKS. l35

ils seront donc tous contenus dans un segment 6^ de longueur moindre que 2 (M H- e) dt/^.

La réunion des segments S;^ forme un ensemble contenant la frontière de E^, et dont la longueur, étant au plus égale à

est infiniment petite. Donc E'^ a une longueur mesurable.

14^. Soit maintenant f{oc) une fonction de la variable œ^ bornée dans E', ; on aura

/(,r)=/[o(0]=FlO,

F étant une fonction de /, bornée dans E|.

Nous allons montrer que l'intégrale, soit par excès, soit par défaut, de la fonction f{x), prise dans l'intérieur de E'^, est égale à l'intégrale correspondante de la fonction F(/)| 'f'(^) I prise dans l'intérieur de E,.

Considérons, par exemple, les intégrales par excès. Décomposons E< en éléments mesurables infiniment petits dt^^ dt^^ ... et E'^ en éléments correspondants A^, , A^o» • • • également mesurables. Soient Ma le maximum de ¥ [t) \ (d' (^t) \ dans l'élément dtj^^ M'^ celui de/(^) dans l'élément \xh. 11 faut prouver que les deux sommes

U,,\dt,,\, \ W|,\^x,,

: tendent vers la même limite.

Soit t/f la valeur de ^ à l'origine du segment dt/^', on aura

\^.r,\=.\o'{t,)-i-l\,\\dt,\,

\l\/i] étant <; £ si les éléments sont assez petits. D'autre part,/(^) et F(^) n'étant que deux expressions différentes de la même quantité, le maximum de F(^) dans l'élément \di/(\ sera M^, et celui de F(^) | 'f'ij)] sera compris entre M'^/ik et MJ^N/f, n/( et N^ désignant le minimum et le maximum

l36 PRKMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

(Je I 'f>'(^) I clans cet élément. Gomme on a

M)^ I '-P'(^a) I sera compris entre les mêmes nombres. On aura donc

] £/f I étant au plus égal à N/, — nk-

Or la fonction \zi'(t)\, étant continue dans E,, l'est uniformément; si donc les éléments sont assez petits, on aura

N/,— /«/,<£, d'où |£a-|<-

Cela posé, la différence sera égale à

Désignons par [a' le maximum du module de /{^) dans E, ; le module de la somme ci-dessus sera moindre que

|./£)^|^^/,|=:s(l + jx')E,

et tendra vers zéro avec s.

La démonstration serait toute semblable pour les intégrales par défaut.

Si/(^) est intégrable dans le domaine E'^, ses intégrales par excès et par défaut coïncideront; il en sera de même des intégrales de F(t)'j'(t) dans E, ; cette fonction sera donc intégrable dans ce domaine.

143. Remarque. — Si nous supposons la fonction /(j::) bornée dans E', nous pourrons faire croître le domaine E, dételle sorte que son aire tende vers l'aire intérieure de E; celle de E'^ tendra vers l'aire intérieure de F/, et l'égalité

VARIABLES RÉELLES. l37

démontrée ci-dessus, deviendra à la limite

sans qu'il soit nécessaire de supposer que E et E' soient mesurables.

144. Supposons en particulier que E et, par suite, E' soient d'un seul tenant; E sera formé par les valeurs de /, pour lesquelles on a

/o etT étant deux nombres fixes; E' par les valeurs de œ pour lesquelles

Xq et X étant les valeurs correspondantes à t^ et T.

L'intégrale de/(^), dans le domaine E', sera représentée par

si X>>^oî par cette même quantité changée de signe, dans le cas contraire.

De même, l'intégrale de F(^) cp'(^) dans E sera représentée par

¥{t)\'^'{t)\dt,

si T > ^0 ; par cette expression changée de signe, si T<^ ^o-

D'ailleurs \^\t)\ est égal à cp'(^) ou à — cp'(^), suivant

que cette dérivée est positive ou négative. La dernière inté-

grale sera donc égale à

ou égale et contraire, suivant que (T — ^o) 'f'(^) ^st positive ou négative. Mais cette quantité a le même signe que X — x^^ car lorsque t croît, x croît aussi, si cp'(^)]>o, et décroît au contraire, sicp'(^)<;o.

j38 FREMIÈIIE l'ARTU:. — CHAPITRE

On a donc, dans tous les cas.

f J\œ)dx^f ¥{t)o'{t)dt.

On peut donc Ibrmiiler Ja règle suivante pour le changement de variable dans les intégrales simples.

Remplacer dans la différentielle à intégrer x par ':^[t), dx par z>'(t) dt; prendre pour limites de l^ intégrale transformée les valeurs de t qui correspondent aux anciennes limites.