Soient
[u., (') un point de E| ;
{u + du^ V -f- c/r) — (U, V) un point infiniment voisin ;
(^,jk) et {x -\- \x, y ^ \y) := Ç>L^Y) leurs correspondants.
On aura
A^ = -^ du 4- -^ dv 4- R du 4- Ui di> — dx -h R du 4- R, d\\ au dv ^ '
■^7 = -j^ <^« H- -^ dv 4- W^du 4- R3 dv ~dy 4- W^du 4- RaVr,
VARIABLES RÉELLES. I Sg
a il, U.>, R3 lendant imiformément vers zéro avec du, dv dans lOLit le domaine E,. Si donc | du \ et [ dv \ ne surpassenl pas lin nombre p suffisamment petit,
I R du + R , dv 1 et I K2 du + R3 ^^<' |
resteront moindres cpie
£ [ I du 1 + 1 dv I ] ,
£ pouvant être choisi aussi petit qu'on voudra.
La distance do- des deux points (w, ('), {u -|- ^/^/, r + dv) est donnée par la formule
dc^'^'-du^'-^dv'^, et la distance A^ de leurs correspondants par celle-ci
En désignant par ds sa valeur principale, on aura
ds'- = dr- + df = £ «r« + ;^ ^'" + U7 ^" + ^ ''^
M du- -I- 2 N (i« <ii^ -I- P <i^-,
en posant, pour abréger.
Off d^> ou o\
Le rapport j^ ne dépend que de u, ç et du rapport ^^; sa valeur ne sera donc pas altérée si l'on y remplace du, dv par des quantités proportionnelles a, fi telles que l'on ait a- + fi- = I ; il se réduira alors à
du âç ^ \ du du
C'est une fonction de u, i', a, ji continue et toujours po-
l4o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
sitive; car elle ne pourrait s'annuler que si l'on avait à la fois
au di> ou ov
d'où J = o, ou y.=:'^ = o. Or, par hypothèse, dans tout le domaine E, J est ^o et, d'autre part, a--j- !^- = i . Donc cette fonction admet un maximum M^ et un minimum nids .
tous deux positifs. Donc enfin le rapport -y- est toujours
compris entre les deux nombres positifs fixes M et m.
D'autre part, | A5 — ds\ est au plus égal à la distance des
points {x + ^x, y + Ay) et {x -\- dx^ y + dy)^ laquelle ne peut surpasser elle-même la somme de ses projections
1 Ajï7 — r/^ 1 4- I Ay — <:fy I = I R du 4- Rj ^(^ | H- | Rg du -V R3 <r/p |
Le rapport -7- = 1 — '- — -, sera donc compris lui aussi
^ ^ aa a^ 6/cj ^
entre deux nombres fixes M -1-4^ et m — 4 s.
14-7. Il résulte de là que, si (?^, v) décrit une ligne rectifiable de longueur L, la ligne correspondante décrite par (^, y) sera également rectifiable et aura une longueur comprise entre ML et mL. Car si l'on inscrit à ces deux lignes des polygones correspondants quelconques à côtés infiniment petits, le rapport des côtés homologues et, par suite, celui des périmètres, seront toujours compris entre M-|- 4et ra — 4s- D'ailleurs, si les côtés deviennent suffisamment petits^ on pourra faire décroître £ autant qu'on voudra.
148. Gela posé, admettons que, le point (w, v) restant (îxe, on fasse parcourir à du et à dv toute la suite des valeurs de o à p, p étant un infiniment petit.
Le point (w -+- du^ v -h dv) = (U, V) décrira un carré Q de côté p, et son correspondant (^ + A^, y -\- b.y) = (X, Y) se confondra sensiblement avec le point (?, ri) qui a pour
coordonnées
dx :
dv
du du
du du
dv, dv.
Ce dernier point (E, r^) décrit un parallélogramme; car si, dv étant nul, on fait varier du de o à p, (i,'/-j) décrira un
segment de droite ayant pour projections -y^. p, "^ p î et si,
d'autre part, assignant à du une valeur fixe, on fait varier dv de o à p, (?, Tj) décrit un autre segment de droite ayant
pour projections -t\P, "T"?' ^^^ projections étant indépendantes de du, la direction et la longueur de ce nouveau segment n'en dépendront pas non plus.
L'aire de ce parallélogramme P sera, d'après une formule
connue, égale à
mod
du
d^ dv
du doi
D'autre part, ses côtés seront au plus égaux à Mp et son périmètre/? à 4M0.
149. Quant au point (X, Y), sa distance au point (E, r,) est, comme nous l'avons vu, moindre que la c[uantité
2t[\du\-^\dv\]
et a fortiori moindre que ê^zi^.
Si donc on construit deux nouveaux parallélogrammes P' et P'^, Tun extérieur, l'autre intérieur à P, et dont les côtés soient distants de ceux de P de la quantité l\^^, la région R du plan décrite par le point (X, Y) contiendra P'^, mais sera contenue dans P'. Or la différence des aires de P' et de P" est évidemment égale à i,f\z'^.p et, par suite, au plus égale à 32M£p2. Mais elles comprennent entre elles l'aire Pi égale
l42 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
à |J|p^. Elles sont donc comprises toutes deux entre [|J| + 32Mc]p2 et [|J| — SaMs] p^. H en sera a fortiori de même pour les aires intérieure et extérieure de R. Cellesci coïncident d'ailleurs, comme nous allons le voir.
150. En effet, soit plus généralement E2 un ensemble mesurable quelconque contenu dans E, (qui pourrait être d'ailleurs identique à E,) ; l'ensemble E', décrit par (^, y) lorsque {u, ç) décrit Eo est également mesurable.
En effet, décomposons le plan des a, v en carrés Q de
coté p. La somme \ Q^- de ceux de ces carrés qui rencontrent
la frontière Fo de E2 tend vers zéro par Iijpolhèse. A chacun d'eux Qf correspond un parallélogramme P- d'aire moindre que la quantité
[|J,|-4-32Ms]p^^[|J,|-T-32Ms]Q„
J/ désignant la valeur de J en un sommet du carré Q/.
L'ensemble de ces parallélogrammes formera un domaine mesurable et parfait, enveloppant la frontière ¥'., de E!, et donl l'aire sera au plus égale à la somme des aires des parallélogrammes P^ (fJLii, en général, empiètent en partie les uns sur les autres). Mais, en désignant par a le maximum de I J I dans Eo, on aura évidemment
^P;. = (îx--32M.)^Q,.
quantité qui tend vers zéro avec\ Q/. Donc E!, est bien mesurable.
On trouve d'ailleurs aisément l'expression de l'aire de E', . En effet, à chaque carré Q^ Intérieur à E, correspond dans E', un élément R^, mesurable comme on vient de le voir, et dont l'aire sera de la forme
Ra=[|J/.1-i--^a]Q/i-,
T^h étant un infiniment petit, de module << 32M£.
VARIABLES RÉIîLLES. l43
L'aire de E', sera évidemmeiiL égale à
mais on a
V^aQa- ! < 32Msy Q/,< 32M£E,
expression dont la limite est zéro. On aura done pour l'aire cherchée
E: = limV!J/.-IO/.=^Q \i\de
i=:limy JJ/,1Q/,=^Q \i\dc
151. Soit maintenant y (^, y) une fonction de x, y, bornée dansE', . Posons /"(cp, o^ ) = F(?^, (^). L'intégrale, soit par défaut, soit par excès, de f{x, y) dans le domaine E', sera égale à l'intégrale correspondante de F (u, (^) | J | dans le domaine E , .
Décomposons, en effet, le plan des u, ç en carrés de côté p. Soient Çlh l'^in d'eux qui soit intérieur à Ej ; R^/^ l'élément correspondant de E', , et considérons, par exemple, les intégrales par excès. Désignons par M^ le maximum de F(^^, c^) | J | dans Q;^; par M^ celui àe f{x,y) dans R/^. Il nous faut montrer que les deux sommes
^M/.Q/o ^Ml. \h --^Ma. [ I J/.. I -+- V.] Qk
tendent vers la même limite.
Or le maximum de F(w, p) = /(j;, y) dans Qy^ est évidemment Wf^\ et celui de F(?<, v)\i\ est égal à M^va, Vr désignant une quantité intermédiaire entre le maximum Na et le minimum /^a de | J | dans Qa. D'ailleurs, J étant continu dans E|, la différence Na — /iA, ('t a fortiori la différence | Ja| — va, tendra vers zéro avec p, et cela uniformément.
Gela posé, on aura
z=^[ I J, I -■>,+ ,,] Ml, Q,.
j44 PREx^IÈRE partie. — CHAPITRE I.
Or, si p leod vers zéro, | J^^ | — v^ et 7)a tendent uniformément vers zéro, MJr. reste au-dessous d'une limite fixe M'; enfin,
\ Q/, a pour limite l'aire de E, qui est finie. Donc la dilTé-
rence ci-dessus tend bien vers zéro.
102. Si la fonction f(^x^r) reste bornée dans tout le do- )naine E', l'égalité
qui vient d'être établie, donnera à la limite, en faisant tendre E,, E', vers E et E', la relation
sans qu'il soit nécessaire de supposer que E et E' soient mesurables.
103. Des considérations toutes semblables s'appliquent aux intégrales triples. L'analogie est telle, qu'il nous suffira d'indiquer la marche du raisonnement.
Soient x^ y, z et t^ u^ v deux séries de trois variables liées par les relations
^— ?l(^, U,^), / = ?2(^, il, <'), - = ?3(^) ", <')•
Lorsque (^, u^ v) décrira dans l'espace un domaine E, {x,}-, z) décrira un domaine correspondant E'.
Supposons : i" que dans tout le domaine E, les dérivées partielles de cp,, cp^, cp3 soient continues, et leur jacobien J différent de zéro; 2*^ qu'à deux points fw, v) difTérents correspondent toujours deux points (^, y^ différents.
Si (^, w, r) décrit un domaine parfait et mesurable E, intérieur à E, (^,^', z) décrira un ensemble correspondant E, , intérieur à E'.
Soient (^, u^ ('), et {t -\- dt^ m -j- dii^ v -}- di>^) = (T, U, V) deux points de E, infiniment voisins : leur distance d<j sera
donnée par la formule
et celle A5 de leurs correspondants par la formule
A^^zn A^--f- ^y--\- A32, expression dont la valeur principale est
d'il j âoi dt-\- -—■ du + -r^ dv
ou
dt du dv
Ml dt"' 4- iMa du"- + 1M3 dv^ -h-iN^du di> 4- 2 N2 <^^ <^^ + 2 N3 dl du,
«■^m- «-^(S)' »-s(fe)"
ôT Ou
Efeft' --SS^I- ^-S
Si I dt |, I du \^ \ dv\ ne surpassent pas un nombre donné 0, la distance des deux points
et
{x 4- flfjT, y -h dy, z-\- dz)=z{l,T^, t)
sera moindre que 3c [ | <:/^ j -1- | c/// 1 + | dv | ], £ ne dépendant que de p et tendant vers zéro avec lui.
On en déduit que -> est compris entre deux nombres positifs fixes M et m. Si donc (T, U, V) décrit une ligne rectlliable, il en sera de même de son correspondant (X, Y, Z).
Si (T, U, V) décrit un cube Q de côté p, (^, -^, Ç) décrira alors un parallélépipède P, de volume | J | p"' et dont les côtés seront au plus égaux à Mp et l'aire k. au plus égale à6M-o'-.
Le point (X, Y, Z) est d'ailleurs aune distance de (ç, v], Ç) moindre que 3£[| 6/^ | -h 1 du | + | ^^^ |] et, a fortiori, moindre ([ue 92 p. Si donc on construit deux parallélépipèdes P' et P\ l'un intérieur, l'autre extérieur à P, ayant leurs faces parallèles à celles de P et à la distance Qsp de ces dernières, le domaine R décrit par ( X, Y, Z) contiendra P'^, mais sera con- J. - I. ,0
l46 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
tenu dans P'. Or la différence des volumes de P' el de P" est
évidemment
