pA= io8M-£p

On en conclut, comme aux n°^ 150 à 152 : i" Que le domaine décrit par (.x^, r, z) lorsque (/, u, v) décrit dans E, un domaine mesurable est mesurable;

?/' Que si /{^^ r, z) = F(^, u^ ç) est uue fonction bornée dans E'^, on aura

^^ /(.r, y, z) de r^ ^^^ F(^ a, r) | J | de;

3" Que si f(œ^y,z) est bornée dans tout le domaine E' mesurable ou non, on aura encore

j^y(^,/. z.)de -=. ^nt. n, r) | J | de.

151. On traiterait par des procédés tout semblables le cas des intégrales multiples d'ordre quelconque ; mais, l'intuition géométrique faisant ici défaut, il faudrait traduire en langage analytique les démonstrations relatives à l'aire du parallélogramme ou au volume du parallélépipède et en faire l'extension au cas de plus de trois variables. Nous ne nous y arrêterons pas.

155. Soient (w, v) un point d'un plan et {^, y, z) un point de l'espace, lié au précédent par les équations

Nous admettrons que pour les valeurs de (w, r) comprises dans un domaine E : i^ les dérivées partielles de Oi, Ooi ^n restent continues; 2'' les trois jacobiens

du di^ du ôv

du d{> du dv

P ^f, 6^cp, d^i r^cp,

du dv du dv

VARIABLES RÉELLES. l ^'J

ne s'annulent pas simultanément; 3^ à deux points {ii^v) distincts correspondent deux points {x, y^ z) distincts.

Le point (w, v) décrivant un domaine E< borné et parfait, intérieur à E, le point (^, J', z) décrira une surface.