Soient

(«, s^) un point de E, 5

{a + dii^ V + dv) = (U, V) un autre point infiniment voisin ;

(^, j^) et (jt H- A^, j)/ 4- A/) = (X, Y) leurs correspondants.

n aura

ou Oi'

-H R du -h- Hi <:A%

A y = -7^ du + -^ d\ ou ov

+ H, <^//f + R3 cA',

OU Oi'

+ Rvf/« + Rg^/r.

Posons

d7^ zrz du- -^ dç-,

Celte dernière quantité aura pour valeur principale

du'- = dx^ 4- dy'- + dz'- -=. M ^«^ 4- 2 N t/;^ ^c^ + P ^c^

On verra, comme au n*' 146, que le rapport — reste constamment compris entre deux nombres positifs fixes M et m.

Si nous supposons que | du \ et \dv\ ne surpassent pas un nombre p suffisamment petit, |R|, |i^i|? ••• resteront moindres qu'une quantité arbitrairement choisie £, et la distance des points (X,Y,Z) et

(^, 7], Ç) = (.X- -+- dx, y ^\- dy, z -\- dz)

[d a fortiori \di dififérence A5 — ■ ds) sera au plus é^ale à la quantité

I R du -h Ri ^(^ I -h . . . < 3s[ I du I h ! d^> I ] < 62 rt'cr.

l48 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

Le rapport -r- restera donc compris entre M + ôset/?! — 6s.

On en conclut, comme au n° 147, que, si (U, V) décrit une ligne rectifiable, la ligne correspondante décrite par (X,Y, Z) sera également rectifiable.

157. Si le point (U,V), partant de la position initiale (w, v)^ se meut dans le plan des u^ v^ le point