C -- X -\ — -^ du H 7- dç

au ôv

-^ du dv

^ = ^ 4- — - du H ^- di^

ou ov

décrira un plan, dont l'équation

s'obtient en éliminant du et dv entre les trois équations ci-dessus.

Supposons que du et dv varient de o à p, le point (U, V) décrira un carré Q, et les projections du point (^,7;, Ç) sur Jes plans coordonnés, des parallélogrammes, ayant respectivement pour aires | A | Q, | B | Q, | G | Q. Le point (^, r,, Ç) décrira donc dans l'espace un parallélogramme, d'aire

Mais, si p est infiniment petit, le point X,Y, Z) décrira un élément de surface infiniment voisin de l'élément plan décrit ])ar (ç, /j, s) 5 nous sommes donc conduits à lui attribuer une aire, ayant pour valeur princi[)ale

et, par suite, à définir de la manière suivante l'aire 0, de la j)ortion de surface décrite par [x^y^z) lorsque {u^v) décrit E, :

Nous décomposerons E, en carrés infiniment petits; nous

VARIABLES RÉELLES. l49

multiplierons chacun de ces carrés Q^ par

V/A^HB|.^-C^

Aa, Ba, C/f étant les valeurs de A, B, C en un de ses sommets. La limite de la somme

qui n'est autre chose que l'intégrale double

représentera l'aire demandée 0, .

Supposons maintenant que E, tende vers E; Q, tendra vers une limite Q, égale à

Ç s/A---^B'-^C'de.

158. Lorsque la surface décrite par le point {^,y, z) est un plan, l'aire Ù est susceptible d'une mesure directe. Il faut donc établir que notre définition nouvelle n'est pas en discordance avec cette notion déjà acquise. En désignant par a, jB, y les cosinus directeurs de la normale au plan, nous aurons

^ ^ (^^ 1^. f^^ rT

-:=.~^--=v/A.-H-B^-hG-;

notre formule devient donc

Or V I A I <ie est bien, comme nous l'avons montré (150), l'aire de la projection de 0.

lo9. Nous devons encore montrer que l'aire, définie comme nous l'avons fait, ne dépend que de la nature de

i:)0 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

la surface décrite par {x^y^ z) et non du choix particulier des variables auxiliaires w, i\ Posons, en effet,

Ui, ç, étant deux nouvelles variables qui parcourent un domaine F lorsque (//, c) parcourt le domaine E. On aura

el, on appelant J le jacobien de /,, /o^

Ci=: GJ.

L'expression de l'aire en fonction des nouvelles variables u^^ Çi sera

Q v/Aï + Bf-t-I:] de, ^ C y AM^Tbm^C^' | J | ^e^.

Or cette intégrale est bien égale à l'intégrale

[)rise dans le champ E (152).

X[II. — Formation des équations différentielles.

160. On nomme équation différentielle de V ordre n toute équation entre une variable indépendante x^ une fonction y de cette variable et ses n premières dérivées.