Soit j' une fonction quelconque, définie par l'équation

VARIABLES RÉELLES. l5l

En prenant les dérivées de celle équalion, il viendra âF ()F ,

Toule équation déduite de la combinaison de ces équations avec la proposée sera une équation difTérentielle à laquelle satisfait la fonction jk- Parmi ces équations, il conviendra de rechercher celles qui ont la forme la plus simple ou la plus avantageuse pour le but qu'on se propose.

162. Il arrive souvent que des fonctions dont l'expression contient des transcendantes ou des radicaux satisfont à des équations différentielles d'où ces transcendantes ou ces radicaux ont disparu.

Soit, par exemple,

7' nz arc sin^.

On en déduit

^i — ^'^ d'où

Prenant la dérivée de cette équation et supprimant le facteur commun ^y, on aura l'équation du second ordre

On peut déduire de cette équation une formule récurrente commode pour le calcul des dérivées successives de y. Prenons en effet la dérivée m'*'"''' de cette équation; il viendra, en appliquant la formule connue qui donne la dérivée wi"""' d'un produit,

l52 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

et, en réduisant,

Cette formule se simplifie pour la valeur particulière ^ = o. Si l'on désigne par jkq^ J'oj • • • ce que deviennent alors v, y\ . . ., il viendra

y--^^'=zmy-'

On aura, par suite,