Considérons en second lieu l'expression

Prenons la dériçée logarithmique des deux membres, c'est-à-dire la dérivée de leurs logarithmes; il viendra

y ,^ {œ -\- \J œ-' -^ i)' __ /i^^ ^ / X — ^x^ — I sjx- — I

d'où

ou, en prenant la dérivée et supprimant le Tacteur commun

(3) ^a;''--^)y"-^xy'—n^y=zo.

Prenant la dérivée m}^'^^ de cette équation, on aura la formule récurrente

-\-m{m — \)yim) ^ ^y{m-^-\)^ jyiyi'n) — n^yi^) -^ q

OU, en réduisant,

(x^—l) yirn-^V -f- ( 2 m -|-I ) ^jl '«+!) |- ( ,7^2 ,^2 ) j(/n) — O.

VARIABLES RÉELLES. l53

Pour X = o. cette formule se réduit à

(4) y---)=.(,n^--,i^)jr^.

164. L'équation différentielle (3) subsisterait évidemment, ainsi que la formule (4) qui en est la conséquence, si l'on changeait le signe du radical dans l'expression dey. Elle subsistera encore si l'on pose

C et C étant deux constantes quelconques, car le résultat de la substitution de cette quantité dans le premier membre de (3), étant évidemment égal à G fois le résultat de la substitution de (jc-^-\/'x- — I )" plus CJ fois le résultat de la substitution de [x — \/x' — i )", sera nul.

Soit, en particulier, G = G'= J-, et supposons n entier et positif. L'expression

étant développée suivant la formule du binôme, les puissances impaires du radical se détruiront, et l'on obtiendra évidemment un polynôme entier de la forme

Le coefficient A,i peut se calculer aisément. On a en effet, en divisant par x'^ et faisant tendre x vers ce,

A„r=lim^

Pour calculer les autres coefficients, on remarquera qu'on a, en général,

l54 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I,

d'où

ou, d'après la formule (4),

' {Il — '2p — 2)- — n-

■ Cette relatioQ permettra de calculer successivement tous \ les coefficients, en partant du premier. Posons

j:'rr:COSç*,

d'où

\j x^ — 1 = / sin o ; il viendra

y = .• ( ces cp H- i* sin cp )'^ H- I ( ces o — i sin cp )'* ou, d'après une formule que nous établirons plus loin,

y =r |( ces n ç) + / sin /i cp ) + 1 ( ces n cp — i sin n cp ) =1 cos/icp rz: cos/i(arc cos^-).

Nous venons donc d'obtenir le développement de cos/icp, suivant les puissances de coscp.

16o. Soit, comme dernier exemple, l'expression

Posons, pour abréger,

En prenant la dérivée logarithmique de celte expression,

il viendra

o.nx z'