I -^n-\-yn \ = I Xa-\-yn--d-\-d\ l\x ,,\-\y „- d\ ~- \d

si l'on choisit E' plus grand que E -|~ o -f- [ <:/ |. Donc, dans ce cas, X -\- y tendra vers oo.

Le produit xy tendra aussi vers ce, si d n'est pas nul. E effet, choisissant pour 5 une quantité < | <:/|, on aura

d'où et enfin

\yu\ ^ \d\ — o,

si l'on choisit E' ])lus 2:rand crue , ,,

Si jK tendait vers zéro, en même temps ([ue ./' vers oc, on ne pourrait rien affirmer a priori.

Supposons enfin que x ei y tendent tous deux vers ce. On ne pourra rien affirmer a priori sur la somme x-r-y. Mais le produit tendra évidemment vers oc.

14-. De la combinaison des résultats qui précèdent, on déduit immédiatement la proposition suivante :

Soit l\(x,y, . . .) une expression rationnelle quelconque des variables X ^ y , .... Si ces variables tendent simultanément vers les limites c, d. . . ., R(.r, y, . . .) tendra vei's la limite R(c, d, . . .).

Ce théorème est toutefois soumis à cette restriction cpie la suite des opérations indiquées pour calculer R, connaissanl ^, y, ..., puisse s'exécuter effectivement pour les valeurs particulières x = c, y = <:/, ....

Si donc parmi ces opérations fi<^ureut des divisions, il faut que le diviseur ne soit pas nul.

lo. L'Arithmétique et l'Algèbre comportent quatre opérations fondamentales : addition, soustraction, multiplication et division. On peut en concevoir une cinquième, consistant à remplacer une quantité variable par sa limite. C'est l'introduction de cette nouvelle opération qui caractérise le Calcul infinitésimal.

l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

16. l?^Fii\iME]\T PETITS. — On donne le nom à^ infiniment petit à toute quantité variable qui tend vers zéro; celui àHnfiniment grand à toute quantité variable qui tend vers oc.

L'inverse d'un infiniment petit sera donc un infiniment grand, et réciproquement.

La suite des valeurs ^, , . . . , Xa^ • - -, qu'on assigne successivement à un infiniment petit ^, doit avoir, par définition, zéro pour limite; on peutne la soumettre à aucune autre restriction. Mais on peut aussi, si l'on veut, l'assujettir à d'autres conditions : stipuler, par exemple, que ces quantités seront positives, ou rationnelles, etc. Sauf ces restrictions, qui devront être spécifiées dans chaque cas, on devra la considérer comme arbitraire.

17. Deux infiniment petits jc^ y seront indépendants^ s'il n'existe aucune corrélation obligatoire entre les valeurs x^^ . . ., x,i^ ... et y,, . . .-, y,n • • • qu'on leur attribue respectivement.

Au contraire, s'ils sont liés de telle sorte que, Xn étant connu, on puisse en déduire y,/, on dira que y est un infiniment petit dépendant de x. Cette dépendance sera, en général, réciproque, de telle sorte que, Vn étant connu, x,i pourra s'en déduire.

Deux infiniment petits .r, y étant ainsi liés, on dira qu'ils

y sont du même ordre, si, lorsque x tend vers zéro, —^ a pour

limite une quantité constante c différenle àe o\ y sera

d'ordre plus élevé que x, si - a pour limite zéroj il sera

y d'ordre moindre, si — tend vers oo.

On peut, dans la plupart des cas, préciser cette notion, en mesurant par un nombre l'ordre de grandeur d'un infiniment petit. On pourra dire, en effet, que y est d'ordre a par rapport à x^ si le rapport -' - tend vers une limite finie et difl'é-

rente de zéro, lorsque x' tend vers zéro.

VARIABLES RÉELLES. \-j

D'après cette définition, une quantité jK qui tend vers une limite finie sera nn infiniment petit d'ordre zéro; un infiniment grand y tel que yx'^ tende vers une limite finie et différente de zéro sera un infiniment petit d'ordre — a.

Dans toute question où figurent plusieurs infiniment petits x,y^ z, ... dépendant les uns des autres, on pourra choisir arbitrairement l'un d'eux comme étalon de mesure. Cet infiniment petit principal, X, par exemple, étant considéré comme ayant pour ordre de grandeur l'unité, y, c, . . . auront des ordres de grandeur représentés respectivement par des nombres a, [3, ....

Le même procédé de comparaison serait applicable à des infiniment grands.

18. Soient y un indniniL'nt petit d'ordre a; A la limite vers laquelle tend -— quand x t3nd vers zéro. On auia

-^ rrr A 4- A, d'où Y — A,r^ -j- /i .r'^

Il tendant vers zéro avec x.

Le premier terme kx^ se nomme la valeur principale de y. Il représente cet infiniment petit avec une erreur relative qui décroît indéfiniment a\ec x.

Si l'on ne veut pas se contenter de cette première approximation, on aura à déterminer la valeur principale du reste. Soit B^? cette valeur principale; nous aurons une seconde valeur

approchée jusqu'à l'ordre p. On chercherait de même, s'il était utile, la valeur principale du reste, et ainsi de suite.

La détermination des valeurs principales des infiniment petits et leur développement en série suivant les puissances de l'infiniment petit principal, qui en est la conséquence, formeront en grande partie l'objet de la première Partie de ce Cours.

l8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

J^a solution de ce problème fondamental fournit une méthode d'approximation précieuse dans toutes les applications des Mathématiques; mais là ne se borne pas son utilité : elle permet d'obtenir des résidtats d'une entière rigueur, fondés sur la proposition suivante.