IL - Ensembles

20. Soient .r, y, ... des quantités variables; nous appellerons point un système de valeurs simultanées a, 6, ... donné à ces variables; écart de deux points p = (a, b, . . .) elp'= {a', b\ . . . ) l'expression

pp' z-iz\ a' — a\ -r [ // — b \ -{-... .

Si cet écart est nul, les deux points coïncident, et réciproquement.

On dira que le point /; = [a, b, . . .) est la limite d'une suite de points

/j.,— (.ri, 7,, ...), ..., /^,,= (.r„,/„, .. .), ...,

si VécRvl pp,i a pour limite zéro lorsque /i croît indéfiniment, ce qui revient à dire que^/^, y,^^ . . . ont respectivement pour limites a^ b, ....

On nomme ensemble toute collection de points, en nombre fini ou infini. Un ensemble aura autant de dimensions qu'il figure de variables ^, y, . . . dans la définition de ses points.

On nomme point limite d'un ensemble E tout point qui est la limite d'une suite de points de E. Le système de ces points limites forme un nouvel ensemble E', qu'on appelle le dérivé de E.

Considérons, par exemple, le cas d'une seule dimension. D'après les définitions précédentes, l'ensemble des nombres entiers n'a pas de point limite.

Celui des fractions j, |, ^, • • • a une seule limite x-=o.

Celui des nombres rationnels ^a et <^/; a pour dérivé l'ensemble des nombres réels ^rt et ^^.

Ce dernier se confond avec son dérivé.

On voit par ces exemples qu'un ensemble E peut contenir des points qui n'appartiennent pas à son dérivé E', et réciproquement.

Si un point p = («, b^ . . .) appartient à E sans appartenir à E^, on pourra, par définition, trouver une quantité e telle que tout autre point de E soit écarté de p de plus de £. On dit dans ce cas que p est un point isolé dans E.

!2i. Nous appellerons ensemble parfait tout ensemble qui contient son dérivé.

Un ensemble E', déri\^é d'un autre ensemble E, est nécessairement parfait .

Soit en effet tt un point limite de E'. On pourra, par hypothèse, déterminer dans E' un point p' tel que l'écart p'r^

soit <^ -• D'autre part, p' étant un point limite de E, on

pourra déterminer dans E un point y? tel que l'écart/)/?' soit

<^ -• Cela ]:)Osé, soit

on aura

Donc TU est un point limite de E et appartient à E'.

22. Si l'ensemble E ne contient pas tous les points possibles, les points qui ne lui appartiennent pas forment un ensemble coniplé mentaire E, .

Soient respectivement E', E', les ensembles dérivés de E, E,. Tous les points de l'espace pourront être répartis en trois classes :

i^ Ceux qui appartiennent à E, sans appartenir à E'^ . Pour chacun d'eux/? on pourra assigner une quantité s telle, que tout point dont l'écart à p est <^ s n'appartient pas à E, , et par suite appartient à E. Nous dirons que les points de celte classe sont intérieurs à E (et extérieurs à E, ).

2*^ Ceux qui appartiennent à Ei, sans appartenir à E'. Ces points seront extérieurs à E et intérieurs à E,.

3" Enfin ceux qui appartiennent en même temps à l'un des ensembles E, E^ et au dérivé de l'autre. Ces points constituent la frontière commune des deux ensembles E, E).

// existe toujours des points frontières. Soient en eOet p = (a, />, . . .) et Tl = (a, [3, . . .) deux points quelconques, choisis respectivement dans E et dans E,, et soit n un entier arbitraire. Considérons la série des points

où m prend successivement les valeurs o, i , . . . , i" . Le premier point de cette suite est/> et appartient à E; le dernier est u et appartient à E,. Soit pn le dernier des points de cette suite qui appartienne à E, t^,i le suivant. On aura

/?,,— [a -^ ^/, (a — rt), h -\- t,i{'^ — h), ...],

f,i et Ua étant deux fractions comprises entre o et i, ayant

pour différence — et dont la première ne décroît jamais, el

la seconde ne croit jamais lorsqu'on fait croître n.

Supposons d'abord qu'il n'existe aucune valeur de n ?.u delà de laquelle t,i cesse définitivement de croître ou u,i de décroître. Les quantités t,i et if.,i tendront vers une limite commune 0, et les points /?,, ...,p„, ... d'une part, t:, ,... , Tt//, ... d'autre part, auront pour limite le point

Ce point appartiendra donc à la fois à E' et à E', , et, comme il appartient nécessairement à E ou à E,, ce sera nn point frontière.

Supposons, au contraire, qu'à partir d'une valeur v de /i, t,i, par exemple, cesse de croître, et reste égal à ty; Un décroîtra et tendra vers ty\ les points tTv, r.y^^^ ... tendront donc vcrs/>v- ^^e point appartiendra donc à E', et, comme il appartient à ]^, c'est encore un point frontière.

23. La frontière F dont V existence vient d^étre établie constitue un ensemble parfait.

Soit en effet ^ un point limite de F; F contiendra une suite infinie de points ^i , . . . , (jai • • • convergeant vers q.

Si parmi eux il j en a une infinité appartenant à EetàE, , leur point limite q appartiendra à E' et à E[, dérivés de 1^^ et deE', . Mais E', , étant parfait, contient son dérivé. Donc q appartient à la fois à E' et à Ej, et, comme il appartient nécessairement à E ou à E<, ce sera un point frontière.

Si, parmi les points ^,, . . . , g,i, . . . , il n'en existe qu'un nombre borné appartenant à E età E', , les autres, en nombre infini, appartiendront à E, et E', et la conséquence sera 1? même.

24. Quant aux points intérieurs ou extérieurs, leur existence n'est pas nécessaire. Il est évident, par exemple, que si l'on prend pour E l'ensemble des nombres rationnels.

22 PllExMIÈRE PARTIE. — CIIAPITHE I.

pour E, celui des nombres irrationnels, il n'j aura aucun point qui ne soit contenu dans la frontière.

Les ensembles parfaits qui contiennent des points intérieurs présentent un intérêt particulier, et il convient de les caractériser par un nom spécial. Nous les appellerons des domaines.

2!o. Un ensemble E d'une seule dimension est dit borne supérieurement {inférieurement), si tous les nombres qui le composent sont inférieurs (supérieurs) à un nombre fixe L.

Soient, dans ce cas, Frensejnble des nombres plus grands (plus petits) que tous ceux de E; ¥^ son complémentaire. 11 existe un nombre frontière M, lequel jouira de la double propriété : i° que E ne contient aucun nombre >> M (<< M) ; 1^ qu'il en contient qui sont > M — £(<<M + s), quel que soit le nombre positif e.

Ce nombre M est, d'après cet énoncé, une des limites de E; nous l'appellerons la limite supérieure ou le maximum {limite inférieure ou minimum) de E. Il peut, suivant les cas, rester en deliors de l'ensemble E ou lui appartenir. On dit, dans ce dernier cas, 'que E atteint son maximum (son minimum). Cette circonstance se ])résentera nécessairement si Eest un ensemble parfait.

Si plusieurs ensembles E,, Eo, ... admettent respectivement des maxima (ou minima) Mi, Ma, ..., il est clair que l'ensemble E, résultant de leur réunion, aura pour maximum le plus grand (pour minimum le plus petit) des nombres M,, M.,

Si réciproquement on décompose un ensemble E admettant un maximum (un minimum) M en ensembles partiels E<, E2, .. ., ceux-ci admettront des maxima au plus égaux à M (des minima au moins égaux à M).

Î26. 'considérons plus généralement un ensemble E à un nombre quelconque de dimensions.

Soient (rt, ^, ...), ... ses points. Nous dirons qu'il est

VARIABLES RÉrîLLES. 2 3

]3orné si l'ensemble de toiiles les valeurs des modules \ a\^ \b\, ... pour ses divers points admet un maximum jj.. Dans ce cas, les nombres a, b, ... étant compris entre — ;j. et + |ji, forment un ensemble borné en dessus comme en dessous.

Réciproquement, si l'ensemble des nombres «, b, . . . admet un maximum M et un minimum /??, l'ensemble E sera borné, car les modules | a|, \b\^ ... ne pourront surpasser le plus grand des deux nombres | M |, \ni\.

27. Tout ensemble borné qui contient une injinité de points admet au moins un point limite.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d'un ensemble E à deux dimensions; soient (r/, />), ... ses points. Soient M et m les deux nombres fixes entre lesquels tous les nombres a cl b sont compris.

Partageons l'intervalle M — m en n intervalles égaux. Chacun des nombres a, b tombera dans l'un de ces intervalles. Groupons en un ensemble partiel tous ceux des points de E dans lesquels a et b tombent respectivement dans les mêmes intervalles. Nous obtiendrons ainsi n- ensembles partiels, dont la réunion constitue E. L'un au moins E^ de ces nouveaux ensembles devra contenir une infinité de points; et si (a,b), (a', b') sont deux de ces points, leur

écart, \a — a \ -\- \ b — b \j ne pourra surpasser 2

Opérant sur E, comme sur E, on le décomposera en ensembles partiels dont l'un au moins, E2, contiendra une

• p • , 1 • 1 17 - ^I — f^f intinite de points dont 1 écart ne pourra sur])asser 2

On opérera sur Eo comme sur E,, et ainsi de suite. Cela posé, soient

Pi un point choisi à volonté dans E, ;

/>2 un point différent de y?,, choisi à volonté dans E^ ;

P3 un point différent de/», et de p2^ choisi à volonté dans E.., ;

et ainsi de suite.

^4 PRIvMlÈRE l'AUTlE. — CHAPITRE 1.

Ces points />,, p.^^ /?.}, ... tendront évidemment vers un point limite tî.

î28. Nous pouvons ajouter la remarque suivante, qui nous sera souvent utile :

Soit £ une quantité quelconque. La suite />,, y?o, . . . contient un point /?a dont l'écart à )ç est <^î. Soit z^ un autre

nombre, moindre que - et que les écarts /^^tt, . . . , p^^r^. La

suite contiendra un point y:»^^ dont l'écart à — sera <; £< ; et l'indice or, sera ^ a. Soit îo un nombre moindre que les

écarts p\7:, • . . , /^a,"^ et que --; la suite contiendra de même

un point />a., dont Técart à tt sera << So et ao sera ^> a, ; et ainsi de suite.

On obtient ainsi une infinité de points successifs poi-, />a ? /?a,, . . . ayant pour limite tt, et tels : i" que les indices a, a,, ao, . . . aillent en croissant ; 2° que l'écart de /)a„ à tt soit

!29. Soient E et E' deux ensembles formés par des points de même nature.

Les écarts des divers points /> de E aux points p' de E' forment un ensemble de nombres non négatifs. Il est donc borné inférieurement, et admet un minimum A, positif ou nul, que nous appellerons Vécart des ensembles E, E'. Si cet écart est >>o, nous dirons c[ue les ensembles E, E' sont séparés.

30. Si deux ensembles bornés et parfaits E, E' qui n'ont aucun point commun ont pour écart A, ils contiendront au moins un couple de points ayant précisément A poui' écart mutuel.

Soient, en effet, /? == (^, j)^, . . .), ... les points de E; p' =z (y, j/', . • .), ... ceux de E'. Associons-les deux à deux

de toutes les manières possibles de manière à former de nou- ■ veaux points pp'={x.y, ...,x',y, ...) dépendant d'un nombre double de variables. L'ensemble EE' de ces points sera évidemment borné et parfait.

Cela posé, si E et E' ne contenaient aucun couple de points dont l'écart fût A, ils contiendraient tout au moins un couple de points /?,, p\ dont l'écart serait moindre que A + £, £ étant un nombre donné qui peut être choisi à volonté.

Soient d l'écart de /?, à /?', , £, un nombre <^d el <^ -•

On pourra déterminer un nouveau couple de points p^, p.> dont l'écart soit <^ A -f- £,.

Continuant ainsi, nous obtiendrons une suite infinie de couples Pi^ p\; . ..', pni p'„', '•• dont les écarts mutuels convergent vers A. Les points correspondants />»/?,, •••^ PnPn de l'ensemble EE', étant en nombre infini, admettent ;iu moins un point limite /?/?', où les deux points composants />, p' auront pour écart A. Mais p est une limite de l'ensemble des points /><, ..., p,i, ... qui appartiennent tous à E; c'est donc un des points limites de E; et comme cet ensemble est parfait, il contient/?. On voit de même que E' contient/?'. Le théorème est donc démontré.

L'écart A ne peut être nul, car s'il l'était, p et p' se confondant, E et E' auraient un point commun contre l'hypothèse.

3L Nous disons qu'un ensemble parfait et borné est d'un seul tenant lorsqu'il ne peut être décomposé en plusieurs ensembles parfaits séparés.

On voit aisément que le caractère distinctif d'un pareil ensemble est le suivant :

Entre deux quelconques de ses points /?, p', on peut toujours, quelque soit £, intercaler une chaîne de points intermédiaires, telle que l'écart de deux points consécutifs soit ^£.

2b PREMIÈRE PARTIi:. — CHAPITRE I.

Celle condilion est nécessaire. En effet, supposons que pour une valeur donnée de s elle ne soit pas satisfaite. Associons au point/? d'abord tous ceux des points de E dont Técarl à /) est ^ £, puis ceux dont l'écart à l'un de ceux-ci est ^ s, et ainsi de suite. Tous les points ainsi groupés forment un ensemble E, . Les autres points de E forment un ensemble Eo, contenant au moins un point /?', et dont l'écart à Ei est >> s. D'ailleurs chacun des ensembles E,, Eo est parfait. Soit, en effet, /) un point limite de E,. Il appartient à E, qui est supposé parfait; d'ailleurs, il existe des points de E, dont il est écarté de moins de £. Donc il appartient à E, et non à Eo.

Soit, d'autre part, h un point limite de Eo. Il appartient à E; et, comme il existe des points de Eo qui en sont écartés de moins de e, il ne peut appartenir à E, ; donc il appartient à Eo.

Réciproquement, cette condition est suffisante. En effet, supposons E décomposable en deux ensembles parfaits séparés E,, Eo ; soit 0 leur écart; /?,, p^ deux points pris respectivement dans E, et Eo ; si on les relie par une chaîne quelconque de points intermédiaires, on aura nécessairement deux points consécutifs appartenant l'un à E,, l'autre à Eo. Leur écart sera donc ^ o; et la condition de l'énoncé ne sera pas remplie, pour les valeurs de £ moindres que o.

32. La proposition qui précède entraîne cette conséquence évidente :

Un ensemble Y, formé par la réunion cU un nombre quelconque cV ensembles d'un seul tenant E,, Eo, ... dont chacun a au moins un point commun avec l'un des précédents est lui-même d'un seul tenant.

33. Un ensemble d' un seul tenant E, s'il ne se compose pas d'un seul point, se confond avec son déri^'é E! . En effet, il le contient, par définition. Mais, d'autre part, il j est contenu. Soient, en effet, /),/>' deux points arbitrairement choisis dans E. On peut intercaler entre eux une chaîne de points

[?,, p.,^ . . . telle que l'écart de deux points consécutifs quelconques, et notamment celui de/? à/>,, soit ^ z. Soient c/ cet

écart; £i un nombre •< f/et << -• On peut trouver de la même

manière un nouveau point /?2 dont l'écart à /> soit<[£,. Continuant de même, on obtiendra une suite infinie de points /?,, p2^ ' ' ' , convergeant vers/?. Donc, p appartient à E'.

34. On peut encore remarquer qu'w/i ensemble E, d'un seul tenant et cVune seule dimension, qui contient deux nombres donnés a eth ^ contient tout nombre c intermédiaire entre a et b. Soient, en effet, <2,, a^-, - • . nne suite de nombres intermédiaires entre a et c et convergeant vers c; bi, b.2, ' . ' une suite de nombres intermédiaires entre b et c et convergeant vers c. On pourra, par hypothèse, intercaler entre a el b une chaîne de nombres appartenant à E, et dont les écarts successifs soient moindres que b,i — a,i. L'un au moins de ces nombres intermédiaires tombera entre an et b,i. Désignons-le par c,i. Soit £< l'écart \cn — c\; on peut trouver dans les suites «,, «o, . . . et /><, b^^ - • . deux nombres <7//, b,i^ dont l'écart soit <^£), puis déterminer dans E un nouveau nombre c,i tombant entre a,i et b,i^ ; et ainsi de suite. Les nombres c,;, c,i,-, • • • convergent vers c. Donc c est une limite de E, et, comme E est parfait, c est l'un de ses points.

Si l'ensemble E est borné, il admettra un maximum M et un minimum m; étant parfait, il les atteindra. 11 est donc formé par le système de tous les nombres réels qui sont ^ M et ^m.

Si E n'est borné que supérieurement (inférieurement), il sera formé par l'ensemble des nombres réels qui sont ^M (qui sont ^ m).

S'il n'est borné dans aucun sens, il contiendra tous les nombres possibles.