Divisons P(s) par le binôme z — a; il viendra

le quotient P{{z) étant un polynôme de degré m — i et R

une constante. Posant d'ailleurs dans cette identité z ^= a.

elle devient

Oii aura donc, plus simplement,

En opérant sur Pi(^), comme sur le polynôme primitif, on le mettra de même sous la forme du produit d'un binôme z — b par uu polynôme P2(^) de degré m — a, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive aune simple constante C. On aura finalement

D'ailleurs, en divisant les deux membres de cette égalité par ^"% puis faisant croître z indéfiniment, il viendra à la limite

et par suite

Nous obtenons donc ce théorème fondamental :

Tout polynôme P(z) de degj^é m peut être mis sous la forme du produit de son premier coefficient A par m binômes du premier degré z ^ a^ z — 6, ....

Sous cette forme, on voit immédiatement que les racines

de l'équation P(s) = o sont les quantités a, 6, .... Elles sont au nombre de m si les facteurs ;:; — a, z — 6, ... sont différents. Si a d'entre eux sont égaux à ^ — a, on dira que a est une racine multiple, dont Mordre de multiplicité est a. D'après cette convention, le nombre des racines, comptées chacune avec son ordre de multiplicité, est tou- i jours égal km. ■