Soient a, ^, ... les racines distinctes de l'équation

P(:;) n^ o; a, [^, ... leurs degrés de multiplicité. On aura

et, en dérivant,

Tous les termes de cette expression sont divisibles par j (z — a)^ sauf le premier, qui ne l'est que par (z — a)^"*. ] Donc la dérivée P'{z) admet la racine a avec l'ordre de mul- ^ tiplicité a — i. De même, elle admettra b avec l'ordre de multiplicité [3 — i, etc. Quant aux racines simples de P(^), elles ne seront plus racines de l^'(^).

Soient donc Pi le produit des binômes z — a qui corres- 1 pondent aux racines simples de l'équation P r= o ; P2 le pro- | duit des binômes correspondants aux racines doubles, etc., ' de telle sorte qu'on ait, à un facteur numérique près,

Le plus grand commun diviseur de P et de sa dérivée P' I sera (à un facteur numérique près)

Celui de Q et de sa dérivée Q^ sera, de même,

VARIABLES COMPLEXKS. 203

On en déduit, par la division,

et, en divisant de nouveau chacune de ces expressions par la suivante, on obtiendra enfin P< , Po, P3, • • ••

Ainsi Pi, P2, P3, .•• peuvent s'obtenir par de simples divisions.

211. Fractions hationnelles. — On nomme fonctions algébriques celles qui sont liées à la variable indépendante par une équation de la forme U{u, z) = o, où U est un polynôme entier; fonctions transcendantes celles qui ne jouissent pas de cette propriété.

Les fonctions algébriques les plus simples, après les polynômes entiers, sont les fractions rationnelles, définies par une équation du premier degré en u

Q et P étant des polynômes en z, qu'on peut supposer sans

facteur commun.

En résolvant cette équation, on obtiendra u sous la forme

explicite

Cette expression a une valeur bien définie pour toute valeur de z, sauf lorsque z est racine de l'équation Q = o. Soient a l'une de ces racines; a son ordre de multiplicité.

Si l'on fait tendre z vers

sera infinie d'ordre a.

La fraction -.^ a une dérivée — - ^y, — également bien

définie pour toute valeur de z qui n'est pas racine de Q.

Celle-ci a une dérivée de même nature; elle est donc con-

. P tinue. Ainsi ^ est une fonction synectique de :; dans tout

le plan, à l'exception des racines de Q = o.

Si a est une racine de Q d'ordre de multiplicité a, Q sera divisible par (.^ — r/)^, Q' par (x — rt)^~^ , et P sera premier

à X — a. La dérivée — ^02 — ' ''^duite à sa plus simple

expression, contiendra donc x — a en dénominateur à la puissance a H- i , et deviendra infinie d'ordre a -h i pour X = a.

212. Supposons que Q ait été décomposé d'une manière quelconque en un produit de deux facteurs Q, et Qo prciuiers entre eux. On pourra déterminer deux polynômes M,, M2, tels que l'on ait

M,Q, + M2Q.= i et, par suite,

P P^ P(M^ Q,+ M,QO PMi PM>

La fraction -^ est donc la somme de deux autres, aj'anl

respectivement pour dénominateurs Q, et Qo.

Si l'un des facteurs Q<, Q2 était lui-même un produit de deux facteurs premiers entre eux, on pourrait décomposer de nouveau la fraction partielle correspondante en une somme de deux autres, fractions, et ainsi de suite.

213. On donne le nom de fraction simple à une fraction dont le numérateur est une constante et le dénominateur une puissance u d'un binôme x — a.

On déduit aisément des remarques qui précèdent cette proposition fondamentale :

Toute fraction ^^ peut être décomposée en une somme

de fractions simples, augmentée d^ un polynôme entier.

Nous pouvons tout d'abord supposer que le coefficient de la plus haute puissance de z dans Q se réduise à l'unité; car on n'altère pas la valeur de la fraction en divisant simultanément P et Q par ce coefficient.

Cela posé, décomposons Q en ses facteurs du premier degré ; soit

Les facteurs (s — c«)^, {z — b)^, . . . étant premiers entre eux, on aura, d'après les propositions précédentes,

F, G, ... étant des polvnômes entiers.

Considérons l'une des fractions partielles , telle que

{z-ar Posons

y{z) développé suivant les puissances de h prendra la forme

<Ï>(A) étant un poljnôme entier.

On aura, par suite,

et, en remettant pour h sa valeur :; — (7, F(^) Aa A

c'est-à-dire une somme de fractions simples, plus un polynôme entier.

Opérant de même sur chacune des fractions paitielles, il viendra finalement

(0 ; B, Bs -f-^F(..)

M*(v) étant un {)olynôme entier.

Le degré de ce polynôme ^F est aisé à calculer a priori. Supposons, en effet, que Q soit de degré m et P de degré

m -r |i.. Si I ^ I tend vers oc, -^ tendra aussi vers go et sera infini d'ordre [a. Il doit en être de même du second membre. Mais les fractions qu'il contient tendent vers zéro. Donc W doit être un infini d'ordre [jl. Donc jjl est le degré du polynôme.

On verrait de même que W doit se réduire à une constante si P est de même degré que Q, et disparaître complètement, si P est de moindre degré que Q.

Connaissant ainsi le degré du polynôme W, il sera facile de déterminer ses coefficients, ainsi que les constantes A, B, .... Il suffira, après avoir chassé les dénominateurs dans l'équation (i), d'identifier les coefficients des mêmes puissances de X dans les deux membres. On obtiendra ainsi un système d'équations linéaires pour déterminer les coefficients inconnus.

214. Il est souvent préférable d'employer le procédé suivant, qui a l'avantage de montrer que la décomposition ne peut se faire que d'une seule manière.

Posons z ^^ a -\- h dans l'équation (i); il viendra

V{a H-/0^P(«)-4-AP'(a)-+-...,

Effectuons la division de ces deux polynômes ainsi ordonnés suivant les puissances croissantes de A, et arrêtons-nous au moment où nous aurions à écrire au quotient des termes ne contenant plus h en dénominateur. Nous aurons ainsi

P(a4-/0 A.^ ol,, Kh""

Q(a4-/0 h'' Il Q{a-\-h)

Xa) ^'^i? • • • étant des constantes et 11 un polynôme entier.

Le second membre de Féquation (i) devient, par la même substitution,

h^ Il a — b ^ k ^ ' '

Nous avons donc identiquement

Multiplions les deux membres par A^, puis faisons // = o. Il viendra oA.a= A^.

a-lo A

Supprimons les deux termes égaux y^ et —-, multiplions

par h^~^ et faisons A = o ; il viendra Xy,^^ = Aa i , . . . .

Les coefficients A^, ..., A| sont donc déterminés sans ambiguïté par les relations

Aa=-^'a, ••-, Al = .1,1.

On calculera de môme les coefficients J3<, .. ., Bp relatifs à une seconde racine 6, et ainsi de suite.

Reste à calculer le polynôme entier ^(^), dont on connaît déjà le degré [x.

Soient

On trouve par la division

p, p<, ... étant des constantes et R s'annulant pour ^ =: 00. Soit d'autre part

2o8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE il.

On aura ridentilé

Divisant par z^ et faisant z = az^ il viendra o --s. Supprimant les deux ternies égaux pz^, sz^, divisant par z^~^ et faisant :: = oo, il viendra p, := .ç,, ....

^15. Supposons, en particulier, que Q(^) n'ait que des racines simples, et soit de degré m, \^{z) étant de degré <^ //?. Soit a l'une des racines de Q; on aura

En second lieu, le polynôme ^F(^) n'existera pas. La formule de décomposition sera donc

la sommation s'étendant aux diverses racines a de Q(2). Multiplions cette équation par z et faisons 3 = x ;

ajant pour limite l'unit*', il viendra

:=:iim

Si P (z) est de degré m — i , le second membre a pour limite

— , M et N étant les premiers coefficients de P(^) et de

Si, au contraire, le degré de P(:?) esl < m — i, la limite sera nulle, et l'on aura

Vi^ -o.

VARIABLES COMPLEXJIS. 2O9