IV. — Fonctions algébriques
216. Passons à l'étude des fonctions algébriques, dcHnies par une équation de la forme
( 1 ) f{u,z) — yi a" + Ml w"-' + . . . + M„ = o,
où M, , . . . , M„ sont des polynômes entiers en z.
Nous pouvons supposer le polynôme f{u, z) irréductible, c'est-à-dire non décomposable en un produit de fac-teurs de même nature; car, s'il était réductible, on n'aurait qu'à étudier séparément les équations obtenues en égalai] 1 chaque facteur à zéro.
Pour chaque valeur particulière de :?, l'équation (i ) donnera, en général pour w, n valeurs distinctes //,, . . . , u„. Ce résultat souffre toutefois deux exceptions :
1° Si z est racine de l'équalion M ^=^ o, le degré de léquation en u s'abaisse au-dessous de /?, et une ou plusieurs racines disparaissent.
2° L'équation (i) peut avoir des racines égales. Dans ce cas, le produit
est égal à zéro. Or ce [jroduit, étant symétrique par rapporl aux quantités Mw,, ^iu^^ . . . , est un polynôme entier en ::. L'équation f :r= o admettra donc n racines distinctes, sauf pour les valeurs de z qui satisfont à l'une des équalions
Ces valeurs exceptionnelles, en nombre limité, ont reçu le nom de points criticjues. Les autres valeurs de z sont des points ordinaires.
217. Soit C un contour continu, fermé, sans point multiple, et laissant à son extérieur tous les points critiques. Les points non extérieurs à C forment un domaine E, d'un seul .1. - I. a\
tenant; et si z est assujetti à rester dans ce domaine, à chacune de ses valeurs correspondront n racines w,, . . . , u,i de l'équation /= o.
Nous allons montrer tout d'abord que, dans ces conditions : i" les modules \Ui\, ..., \ifn\ ne peuvent surpasser un nombre fixe [x; 2" les modules | «) — u^l^ . . • , | Ui — u/(\ ne peuvent être inférieurs à un autre nombre fixe v, plus grand que zéro; 3^ les modules des rapports
dz ' Ou,
ne peuvent surpasser un nombre iixe m.
Soit, en effet, a le maximum de | 3 | dans le domaine E. Tout polynôme entier en z^ tel que SAs^', aura son module au plus égal à la quantité fixe
En particulier, N, M, M,, . . . , -j^y ~T^' ' ' ' ^^^^ ^^^ P^b"
et Z Ct-j
nomes de ce genre; donc |N|, \M.\, | M, |, \dMA
dU
dz
dz admettent des bornes supérieures que l'on peut
assigner; soit h la plus grande d'entre elles. D'autre part, M est de la forme
k{z-z,)...{z-Zj,),
où z^, . . . , Zp sont des points critiques. Si 8 désigne la distance du contour C au point critique le plus voisin, chacun des modules \z — ^i |, . . . , \z — Zp\ sera au moins égal à 8 en chaque point de E; donc |M| ne peut s'abaisser au-dessous du nombre fixe | A | S/', que nous désignerons par c. On trouvera de même pour |N| une borne inférieure c' .
, Gela posé, soit [jl la plus grande des deux quantités i, — ;
on aura, pour toutes les valeurs considérées de z et pour
toute valeur ç de la variable n dont le module surpasse ij.
I \fiç, ^) 1 ^ 1 M I I P h- I M, I I r 1-i-. . .- i M„ I
> c|p|'^— 7ib\i>\''-^ zc\ç\''-^ {\ç\ — ix):>o.
(Ainsi ç ne peut satisfaire à l'équation f=^ o. Donc, les modules des racines \u\\^ . . • , | Un \ ont p. pour borne supérieure commune.
Les quantités \ui — 11-2 \^ . • . , | Ui — ifk \ auront donc pour borne supérieure 211. L'équation (2) donne d'ailleurs
d'où, en remplaçant |N[ par sa borne inférieure c', et tous les facteurs du second membre, sauf l'un d'eux | Ui — u/(\, par leurs bornes supérieures
I Donc I Ui — u/(\ a pour borne inférieure la quantité
2 [JL \/c'
n(/i — l] ' {2ixb) ^
Quant à la dérivée partielle
dz - dz "' ^ dz "^' "^•••'
{ elle a pour borne supérieure de son module la quantité
On a enfin
Prenant la dérivée partielle par rapport à u et posant ensuite a = ui^ il viendra
t ]^JI = M(Ui-U,). ..(lli- Un),
expression dont le module a pour borne inférieure
I^e module du quotient
d Alliez) . d f{u,;z) dz ' dui
a donc pour borne supérieure la quantité
218. Ces préliminaires j^osés, choisissons, à volonté, pour chacune des valeurs de la quantité complexe z^= x -\- yi, une des n racines dey= o. L'ensemble des racines ainsi choisies sera une fonction U des variables x, y.
Cherchons à diriger notre choix de telle sorte que cette fonction soit continue.
Nous démontrerons d'abord le lemme suivant :
Si deux fonctions Uj , U2, déterminées comme ci-dessus, sont continues dans tout le domaine E, et ne sont pas identiques, elles ne seront égales en aucun point de E.
En effet, d'après nos hypothèses, | U, — U2 | sera un^ fonction continue de x^ y. D'ailleurs, en chaque point z de E, Ui et Uo sont des racines de l'équation /(?/, z) = o. Si ces deux racines sont identiques, on aura
Si elles sont différentes, on aura au contraire
Puisque Ui et U2 ne sont pas identiques, il existera au moins une valeur de z pour laquelle le second cas se présentera. D'ailleurs, les valeurs de | U, — Uo | doivent former un ensemble d'un seul tenant (64-). Donc ] U, — U2 |, ne pouvant prendre les valeurs intermédiaires entre v et o, ne pourra s'annuler.
Le nombre des fonctions continues distinctes que Ton peut former ne saurait donc surpasser le nombre n des racines de l'équation /"= o, et s'il existe n semblables fonctions Ui , . . . , U/2, les valeurs de ces fonctions, étant constamment différentes entre elles, reproduiront, pour chaque valeur de ^, la suite complète des racines de cette équation.
219. Nous allons montrer réciproquement qu'on peut grouper ensemble les valeurs de u correspondant aux divers points de E de manière à constituer n fonctions continues distinctes U<, . . . , U/^.
Dans la démonstration de cette proposition, il nous sera permis de supposer que G est un contour polygonal. En effet, nous savons qu'on peut déterminer un contour polygonal ^^ sans point multiple, contenant G dans son intérieur et dont tous les points soient à une distance de G moindre que 3. Tous les points critiques seront encore extérieurs à ce contour (t\ Or, si le théorème est vrai pour le contour "i^ il le sera évidemment pour le contour intérieur G.
Si le théorème est vrai pour deux contours polygonaux $'=: ;3o<2^i^O) '^^" = ZqZ^Bzq ayant un côté commun ZqZ^ {Jig. 3), il le sera pour le contour polygonal (^^ -.= z^az^ bzo résultant de la réunion de leurs autres parties.
ig. o.
yC'O
Soient, en effet, U' ,
au contour ^' Posons
. . , U^ les /? fonctions U relatives U'' les n fonctions relatives à a^''.
2l4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
Un point z situé sur la ligne z-QZ-i aura pour coordonnées
t désignant le rapport des distances ^^o et Zi Zq.
Si le point z = x -}- iy décrit la ligne ^0-^7 t variera de o à I, et ^, jr seront des fonctions continues de t.
Les valeurs des diverses fonctions U, , . . . , UJ^ au point Za sont les diverses racines u^^, . . . , u'^^^ de l'équation
f{u,Zo)-0.
Il en est de même pour les fonctions U, , . . . , U^'^. On pourra associer une à une ces fonctions aux précédentes, en joignant ensemble celles qui prennent la même valeur en ^q.
Soient, par exemple, U^ et UJ les deux fonctions qui prennent la valeur uf . Ces deux fonctions seront égales le long de la ligne -Sq^i*
En effet, U^ est continu par rapport à x, y qui, sur la ligne ZqZ^ , sont des fonctions continues de t. Donc, le long de cette ligne, Ij^ est une fonction continue de t. Il en est de même pour \]"i et, par suite, pour | UJ — U- 1.
La quantité ^, variant de o à i, parcourt un domaine d'un seul tenant. Donc | {]] — U^ | jouit de la même propriété. Or U-, U[ sont, en chaque point ^, des racines de l'équation f{uy z) -= o. On a donc, ou | U- — U-] = o si ces racines sont identiques, ou | U^' — ^'i\y v, si elles sont différentes.
Ce dernier cas ne peut se présenter, car | U- — U- 1 étant nul au point ^0 et ne pouvant prendre les valeurs intermédiaires entre o et v, l'ensemble de ses valeurs ne serait pas d'un seul tenant.
Cela posé, considérons une fonction U^ égale à U- dans l'intérieur de ^' et sur sa frontière, à U^' dans l'intérieur de 9." et sur sa frontière. Cette fonction sera évidemment continue dans l'intérieur de ^.
En faisant successivement /=: i, . . ., n, on aura les ai fonctions demandées.
On peut, au moyen de ce lemme, ramener la démonstration
* VARIABLES COMPLEXIS. 2l5
du théorème au cas où le contour ^^ est contenu en entier dans un cercle de rayon <C £ décrit autour d'un de ses points comme centre, e étant une quantité que nous pourrons choisir aussi petite que nous voudrons.
On peut, en effet, au mojen de diagonales, décomposer l'intérieur de ^S en une suite de triangles T^ To, ..., avanl chacun un côté commun avec le suivant. Si le théorème est vrai pour chaque triangle, il le sera pour le quadrilatère formé parT< etTo, puis pour le pentagone formé par T,, T.>, T;,, cl ainsi de suite.
Considérons donc un de ces triangles T. On peut le décomposer par une série de parallèles à hi base, distantes les unes
des autres de moins de -5 en une série de tranches; il suffira
d'établir le théorème pour chacune d'elles.
Subdivisons enfin la tranche considérée par des perpendiculaires à la base, distantes de moins de -; on la partagera
ainsi en éléments, dont chacun sera un carré de côté - ou une
partie d'un semblable carré; et il suflira d'établir la propriété pour chacun de ces éléments et, a fortiori^ de l'établir pour un cercle de ravon £ ayant son centre en un point de cet élément, car l'élément tout entier lui sera intérieur.
220. Or on sait, par la démonstration que nous avons donnée de l'existence des fonctions implicites (191), que, pour tout point ^0 dti domaine ^S et pour toute racine z/J' de l'équation y(?^, Zq) = o., on peut déterminer un nombre pi le!, que, dans un cercle de rayon p/ décrit autour do ^0 comme centre, il existe une fonction U/ de la variable complexe z, satisfaisant à l'équation f(^u^z) = o et se réduisant à ii*! poui-
On pourra donc déterminer une quantité p telle que, dans un cercle K de rayon 0 décrit de ^0 comme centre, il existe 71 fonctions \J^, ..., U/, de la variable complexe s, salisfai-
■?a6 première PAliriE. — chapitre II.
sant à l'équation y(?^, z) = o. Il suffira pour cela de prendre p égal à la plus petite des n quantités pi, . . ., p«.
Il est clair que, si cette propriété appartient à un cercle R, elle appartiendra a fortiori à tout domaine contenu dans ce cercle.
Si donc il existe un point z^^ tel que cette propriété appartienne à tout cercle décrit de ce point comme centre, quel que soit son ravon, on n'aura qu'à prendre ce rayon assez <^rand pour en conclure que cette propriété appartient au domaine E, ce qu'il s'agit de démontrer.
Dans le cas contraire, les rayons des cercles décrits autour de ^0 et- jouissant de la propriété demandée admettront un maximum /• fini, mais différent de zéro. Aucun cercle de rayon ^ r ne jouira de la propriété demandée; mais tout cercle de rayon /• — A en jouira, quelque petit que soit A.
A chaque point z ^=^ x -\- iy de E correspond ainsi un nombre /• unic|ue et déterminé, lequel sera une fonction de X, y.
Cette fonction est continue. Soient, en effet, r et /*' ses valeurs pour deux points voisins s et ^ + h. Décrivons de z -\- Il comme centre un cercle de rayon r — \ — |/i|. Ce cercle sera contenu dans le cercle de rayon /• — X décrit autour de z. On pourra donc y déterminer les n fonctions U,, ..., U/o donc son rayon ne pourra surpasser /', et l'on
aura
r'lr-\-\h\,
et, en faisant tendre A vers zéro,
r'lr-\h\.
On trouvera de même
rlr'-\h\.
Donc I r' — /• | sera ^ ) A | et tendra vers zéro avec h.
La fonction r étant continue, toujours positive, admet dans E un minimum s qu'elle atteint, et qui sera nécessairement > o. La détermination des fonctions Ui, . . ., 15 n pourra
VARIABLES COMPLEXES. :>; i y
donc se faire dans tout cercJe de rayon <<î, quel que soit le point de E qui sert de centre; ce que nous voulons démontrer.
On volt, en outre, par cette analyse, que les fonctions Ui, . . ., [j,i sont des fonctions synectiques de z et que leur dérivée en chaque point est donnée par la formule
âf(V,-^ -) ()z
dz ~
2!21. L'une quelconque U^- des n fonctions, dont l'exislence vient d'être établie, est entièrement définie dans E par la connaissance de sa valeur initiale w". Proposons-nous de calculer la valeur vi qu'elle prend en un autre point ^ de E. Nous savons déjà que ^i est une des n racines de l'équation f{u, t^) = o; mais il nous faut assigner un caractère qui permette de la distinguer des autres.
A cet eflet, traçons dans E une ligne rectifiable quelconque L joignant les points ^o et Ç; soit / la longueur de
cette ligne. En intégrant la dérivée — ^ le long de cette ligne,
on aura (200)
^^'^dz dz
et comme - -,
I dz
est au plus égal à to, on en déduit
H Si /<< -5 cette inégalité suffira pour distinguer la racine Vi des autres racines de /(?/, s) ~= <^' Car soit v^ une de
celles-ci, on aura
et par suite
I ^'k~ u\\-^\ r/,- iv 1 - 1 Vi-u\ I > T^l.
2l8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II. \
Si /^ - -, on partagera J^ par des points de division intermédiaires ^,, G.>, ... en arcs dont chacun soit < — , et
l'on calculera successivement les valeurs que prend U/ en chacun des points ::,, Zo, •• -7 Ç-
