Soit maintenant

une ligne continue quelconque L ne passant par aucun point critique ; et soient Zç^^= X(i-\- îj-q^ Ç =: ^ -}- i'r\ les extrémités de cette ligne; t^ et t les valeurs correspondantes de t. On pourra déterminer pour chaque valeur de l'indice «', et d'une seule manière, une fonction continue ut de la variable t, satisfaisant tout le long de L à l'équation

et se réduisant à u^l pour /== Iq.

En effet, supposons d'abord que L soit contenu en entier dans le domaine E formé par les points non extérieurs à un contour C fermé, continu, sans point multiple et laissant à son extérieur tous les points critiques. On peut déterminer dans ce domaine, comme on l'a vu, une fonction U/, continue par rapport à x, r^ satisfaisant à l'équation /(?<, ^) =: o et se réduisant à u^- pour z =^ Zq. Le long de la ligne L, x, y sont des fonctions continues de t. Les valeurs successives de U/ le long de cette ligne fourniront donc une fonction utàe la variable t satisfaisant à l'énoncé.

Cette fonction est unique. En effet, s'il existait une autre fonction c^^ de même nature, \ui — Vi\ serait une fonction continue de t. Les valeurs de t comprises entre t^ et t formant un ensemble d'un seul tenant, il en est de même des valeurs correspondantes de | ut — r/|. D'ailleurs, ut et ç^/ étant des racines de l'équation /(w, ^) = o, | ui — Vi\ sera nul ou y V suivant que ces racines seront identiques ou non (217). Enfin, cette expression est nulle pour z=^Z(i] donc elle

devra l'être tout le long de L, pour que l'ensemble de ses valeurs soit d'un seul tenant.

Remarquons d'ailleurs que la valeur finale de ui au point ^ ne sera autre chose que la valeur que prend en ce point la fonction U/. Cette valeur finale resterait donc la même si l'on remplaçait la ligne L par toute autre ligne continue L' ajant les mêmes extrémités, et également contenue dans E.

Supposons au contraire qu'il n'existe aucun contour de Fespèce G dans l'intérieur duquel la ligne L soit contenue tout entière. On pourra tout au moins décomposer cette ligne en arcs partiels dont chacun soit renfermé dans un semblable contour.

Soient en effet t\ t" deux des valeurs de t] z' ^ z" les valeurs correspondantes de z. On sait qu'on peut, quelle que soit la quantité £, déterminer une autre quantité o telle que l'on ait toujours

I < £, si \t" — t'\<:o.

Prenons pour £ une quantité moindre que la plus courte distance de L au point critique le plus voisin. Si nous subdivisons l'intervalle t^"^ par des points intercalaires t^^ t2, ... en intervalles toti, ..., ^a^a+i, ... d'étendue < o, tous les points de l'arc ^^^a+m P^r exemple, auront des distances mutuelles << ô. Us seront donc contenus en entier dans un cercle Ga de rayon £ décrit autour de l'un d'eux, lequel cercle laissera à son extérieur tous les points critiques.

Gela posé, il existe le long de l'arc tQt^ une fonction continue de t satisfaisant à /(«, ^) = o et prenant pour t =^ t^^ la valeur initiale w^^ ; on pourra déterminer sa valeur finale u\ pour t=: t^. Il existe de même le long de i, t.2 une fonction analogue ayant pour t =z t^ la valeur initiale u\ ; et l'on pourra déterminer sa valeur finale uj pour t =: 12- Continuant ainsi et réunissant ces fonctions successivement obtenues, on constituera une fonction ui définie tout le long de L; sa valeur finale Vi sera une racine déterminée de l'équation/(«, Ç) = o.

On voit par cette analyse que, lorsque z décrit la ligne L, les racines de l'équation f(u, z) = o varient chacune d'une manière continue, et passent des valeurs initiales ?^J, ...,?<)) aux valeurs finales ^,, ...,ç,j. |

Il est clair que si z décrivait L en sens contraire, de Ç à Soi ces racines repasseraient chacune par la même série de valeurs et reviendraient respectivement de r, , .,., v,i à 11%..,, i^. I

2:23. Supposons que s, au lien de décrire la ligne L, suive une autre ligne L', joignant également Zq à Ç. Les racines de l'équation /(w, z) = o, variant d'une manière continue, passeront des valeurs initiales wj, . . ., u^ à des valeurs finales (^''^ , ..., p^'^. Ces nouvelles valeurs seront, comme ^i, ..., ç,n les racines de l'équation /(?/, s) = o- Elles seront donc identiques à ces dernières, à V ordre près. Si cet ordre est le même, nous dirons que les deux chemins L et U sont équivalents ; mais on conçoit que cet ordre puisse au contraire être changé, et nous verrons plus tard qu'en prenant pour valeur initiale une racine donnée u] de /(?/, ^o) = o, et choisissant convenablement la ligne U, on peut obtenir comme valeur finale l'une quelconque des racines de

2i24. On peut, comme on va le voir, réduire un chemin quelconque allant de Sq à Ç à un chemin type qui lui soit équivalent.

Désignons par L un chemin fixe choisi à volonté de ^o à Ç; par L~* le même chemin décrit en sens contraire de Ç à ^0 j un autre chemin quelconque V! allant de ^o à Ç sera équivalent au chemin L'L^'L.

En effet, lorsque z parcourt L', ai passera de la valeur initiale u\ à une valeur finale v\ lorsque z parcourt ensuite L~', Ui passera de la valeur v à une valeur u^ ; il repassera de u^^ à V lorsque z parcourra L. La valeur finale sera donc la même que si l'on s'était borné à faire le premier trajet L'. |

Or L'L"^ est un contour fermé ramenant z k sa valeur initiale ^0-

Donc tout chemin tracé de Zq à ^ équiçaut à un contour fermé L'L~* = G suivi du chemin L. Il ne nous reste donc qu'à étudier la réduction des contours fermés.

22o. A cet effet, traçons, à partir de chacun des points critiques a, a,,..., une ligne continue, sans points multiples, s'étendant jusqu'à ]'infîni. Nous donnerons à ces lignes a[^, a, p< , ... le nom de coupures. Nous les supposons menées de manière à ne pas se rencontrer; à cela près, leur tracé est arbitraire.

Il est permis d'admettre que le contour G à étudier ne rencontre ces coupures qu'en un nombre limité de points. En effet, on peut, si cela est utile,' choisir pour coupures des lignes droites. D'autre part, si nous décomposons, comme au n° 222, la ligne G en arcs^o^i? •••? -^a^a+i^ ••. assez petits pour que chacun d'eux, tel que ;:a^/.+m soit contenu dans un cercle G^ ne contenant aucun point critique, les valeurs de ui aux points successifs ^o? ^•\i ... et enfin sa valeur finale seront évidemment les mêmes, que Ton suive la couibe G ou le polygone inscrit V =i ZqZ^ . . .. Gc contour polygonal est donc équivalent à G et peut lui être substitué au besoin. Or ce nouveau contour ne peut rencontrer les coupures qu'en un nombre limité de points.

co

226. Gela posé, si G ne traverse aucune coupure, on pourra {Jig. 4) l'envelopper par un contour fermé C sans point multiple dont la dislance à G soit partout moindre que celle de G à la coupure la plus voisine, et ce contour G ne contiendra évidemment aucun point critique. Soit Uf la fonction de z déterminée dans 3 par l'équation /"(;/, ^) = o et la valeur initiale ?/J* pour z ^= Zq\ ui étant égal tout le long de G à U^, qui n'a qu'une valeur en chaque point de l'intérieur de S, reviendra à sa valeur initiale en même temps que z. Le contour G est donc équivalent à zéro.

Si G traverse m fois les coupures, il équivaut à m contours successifs, dont chacun les traverse une fois seulement. En

Fig. 4.

effet, soient/? {^fig- 5) le premier point d'intersection que l'on rencontre en suivant le contour G; // le second; q un

Fig. 5.

point de G intermédiaire entre p et/?'. Joignons ^ à ^o par une ligne qui ne traverse aucune coupure. Le contour

■•^pqp' ^-^

équivaut évidemment au suivant

z^pq.qz^q.qp'z^, lequel se compose :

1° Du contour fermé G» = z^p q s,, qui ne traverse les cou pures qu'au seul point/?.

2" Du contour fermé C'= z-qÇ p' z-i), cjiii ne les traverse que m — i fois.

Si m >> 2, on appliquera à G' une décomposition analogue et on arrivera enfin à montrer que G est équivalent à G, Go . • . C„n les contours Gi, . . . , G,„ ne traversant chacun les coupures qu'en un seul point.

227. Gonsidérons un de ces derniers contours G<, traversant en un point/> la coupure oLp correspondant au point critique a. Traçons autour du point a un cercle d'un rayon arbitraire assez petit pour laisser à son extérieur tous les autres points critiques.

Joignons ce cercle au point z^ par une ligne déterminée qz^

qui ne traverse aucune coupure, mais qui peut être choisie, d'ailleurs, arbitrairement.

Supposons le contour G, décrit dans le sens de la flèche, La portion ZqJP de ce contour est évidemment équivalente à Zoqnmp; car on peut envelopper le système de ces deux lignes par un contour ne contenant aucun point critique. Par la même raison, p^Zq est équivalent à />/?? Içzq. Donc, le contour total Gi équivaut au contour ^o^/zm/^m/r^^o, ou en

SLipprimanL dans ce dernier la ligne /??/>, décrite deux fois de suite en sens contraire, au contour ZqÇ /imlqzQ.

Ce dernier contour, formé de la ligne ^q^, du cercle ^ ai m/^ et de la ligne de retour ^:;„, est entièrement déterminé. Nous l'appellerons le contour élémentaire (ou le lacet) correspondant au point critique a.

Si le contour G| était décrit dans nn sens contraire à celui que nous avons supposé, il serait équivalent au même lacet, décrit en sens inverse.

Nous aurons donc ce théorème :

Soit L une ligne déterminée joignant Zq à Ç; soient d^ autre part F, Fi, ... les lacets correspondants aux divers points critiques a, ai , . . ., ces lacets étant décrits dans le sens direct, c^ est-à-dire de manière que dans le mouvement on laisse à sa gauche V intérieur du petit cercle ; F~', F~^, ... les mêmes lacets^ décrits dans le sens rétrograde. Tout chemin L', joignant Zq à Ç, sera équivalent à une combinaison des lacets F, F, , . . ., F^' , Fy* , . . . suivie du chemin L.

2^8. Lorsque z, partant de la valeur initiale Zq^ parcourt un lacet F (ou tout autre contour équivalent), la fonction Ui^ qui correspond à la valeur initiale ?/", prendra une suite de valeurs cpie nous pouvons calculer de proche en proche; nous trouverons comme valeur finale une quantité i/J, qui sera, comme la valeur initiale u^- ^ une racine de l'équation /"(^/,3o) = o. En faisant un calcul analogue pour chacune des racines u^l prise comme valeur initiale, on retrouvera, comme valeurs finales, la même série de quantités, dans le même ordre ou dans un ordre différent. J

Le même contour, décrit dans le sens rétrograde, conduira réciproquement de la valeur initiale u^ à la valeur finale m)'.

Supposons qu'on ait fait tous les calculs nécessaires pour établir la correspondance entre les valeurs initiales et les valeurs finales de Ui pour chaque valeur de i et pour chacun des lacets F, F, , ....

Supposons qu'on ait fait également les calculs nécessaires pour déterminer la valeur finale r/ que chaque fonction ui prend au point 'C, lorsque z parcourt la ligne L.

On pourra dès lors, sans nouveau calcul, déterminer la valeur finale de ?//, lorsque l'on se rend de Sq à Ç suivant une ligne quelconque L'. En effet, l'on voit immédiatement, à la seule inspection de la figure, quelle est la combinaison de lacets qui, suivie du chemin L, équivaut à L'.

Supposons, par exemple, que L' soit équivalent à rr,L.

On sait, par les calculs précédents, que, lorsque z parcourt r, la fonction à étudier passe de la valeur initiale u^^ à une valeur finale connue ?/J. On sait de même que, lorsque z parcourt ensuite F,, la fonction définie par la valeur initiale u^l acquiert une valeur finale connue lâ . Enfin, lorsque z parcourra L, la fonction passera de la valeur initiale w" à la valeur finale vi.

1229. Désignons par E l'ensemble de tous les points du plan à l'exclusion des coupures. Soient Zq un point fixe et Ç un autre point quelconque, tous deux situés dans ce domaine. Lorsque z se rend de s,, à Ç sans sortir de ce domaine, celles des racines de l'équation /(w, z) = o, dont la valeur initiale était wj*, prendra en Ç une valeur finale r/, racine de l'équation /(«, Ç) = o, et indépendante du chemin suivi par^. Il résulte d'ailleurs de l'analyse précédente que vi est une fonction sjnectique de Ç. On voit donc qu'il existe, dans le domaine E, n fonctions synectiques U, , • • -^ U/ï de 2;, satisfaisant à l'équation f(^(i^z) = o et caractérisées chacune par la valeur qu'elle prend pour z = ^o*

Mais ces fonctions, nettement séparées dans le domaine E, cessent de l'être si z devient libre de traverser les coupures (sans toutefois passer par les points critiques). Supposons, en effet, qu'en décrivant le contour élémentaire correspondant à la coupure a[3, par exemple, a passe de la valeur initiale 11^ à la valeur finale u^. Si z se rend de ^0 à Ç ])ar un chemin qui traverse la coupure aj^, u passera de la 3.-1. i5

valeur iaitiale u^^ à une valeur finale qui ne sera plus vi, mais Vk-

Si donc z n'est assujetti dans sa variation à aucune restriction (sauf celle de ne pas passer par les points critiques), nous devrons considérer les fonctions Ui , ..., U« comme appartenant à un même système analytique, que nous appellerons \di fonction algébrique u définie par l'équation f(^u,z)^=o] à chaque valeur de z correspondront n valeurs différentes de u.

Nous dirons que Ui, . . . , \]n sont les branches ou les déterminations de cette fonction dans le domaine E.

Cette répartition des valeurs de la fonction algébrique u sur des branches distinctes U< , ..., \],i sjnectiques dans le domaine E a l'avantage de permettre l'application des théorèmes établis précédemment pour les fonctions sjnectiques. Mais cette distinction est artificielle ; car elle dépend du tracé des coupures, qui est arbitraire.