V. — Transcendantes élémentaires
230. Les transcendantes les plus simples sont celles auxquelles on se trouve conduit en cherchant à intégrer les fractions rationnelles.
Une semblable fraction est une somme de termes entiers
tels que A^'" et de fonctions simples telles que ; — ■•
Or A G'" est la dérivée de --" — . La forme i^énérale de ses intégrales sera donc
h const.
C'est un poljnôme entier. j
D'autre part, si /z > i, , — est évidemment la dérivée
de ; -\ et la forme générale de ses intéarrales
sera
— ^ ; — ; — : 4-const.,
expression rationnelle.
Il reste à trouver les fonctions primitives des fractions
A simples de la forme
231. Logarithme. — Supposons qu'on ait trouvé une fonction primitive f{z) de la fonction -• Les fonctions pri-
mitives de seront évidemment
Af{z — a) -h const.
On n'a donc qu'à chercher une fonction /(g) ayant pour dérivée - et satisfaisant par suite à l'équation
La fonction - étant synectique dans tout le plan, à l'exception du point critique z = o, nous savons d'avance (200) que dans l'intérieur de tout contour fermé C qui n'enveloppe pas ce point, on pourra déterminer des fonctions synectiques / satisfaisant à cette équation.
Pour obtenir l'expression de ces fonctions, désignons par o le module de ^, par cp l'un de ses arguments, de telle sorte qu'on ait
^ ==: p ( ces O -h i sin o ) .
Changeant p et cp en p -f- <ip, cp -f- <icp, il viendra
dz = dp{cos 9 4- i sin o) -i- p d^{ — sin tp -|- i ces cp),
<i/ = — = \- i d'^ ■=z d Lo^ p -\- i do
et par suite
/== Logp -H «çp 4- const.
Supposons la constante nulle, nous aurons
(i) /= Logp 4- îo.
La quantité z a une infinité d'arguments; o' désignant l'un d'eux, leur formule générale sera
k étant un entier positif ou négatif.
L'expression Logp + ^'f , trouvée ci-dessus, admet donc pour chaque valeur de :; une infinité de valeurs
Logp-r/(o'+2A-7:).
On les nomme les logariihmes de z^ et on les représente par log^.
En donnant successivement à cp les diverses valeurs dont il est susceptible, on obtiendra une infinité de fonctions distinctes
/^—Logp-i-fXcp'-f-aA-Tr),
dont chacune sera synectique à l'intérieur de C.
Cela posé, par le point critique x; =^ o, traçons une coupure arbitraire (par exemple, une demi- droite faisant un angle donné \ avec l'axe des x\ et considérons le domaine formé par tous les points du plan, à l'exclusion de cette coupure.
Soit z un point de ce domaine, et prenons pour '^' celui de ses arguments qui est compris entre )v et X — 27:. Il est clair que p et cp' sont entièrement déterminés en chaque point z.
Chacune des fondions//, a donc une valeur unique et déterminée pour chaque valeur de :3 ; elle a d'ailleurs pour dérivée -5 qui est continue; elle est donc sjnectique.
Mais il en est autrement si l'on cesse d'astreindre z à ne pas traverser la coupure. Supposons en effet que z décrive dans le sens direct un contour fermé sans point multiple en-
tOLiraiiL le point critique :; = o. Lorsqu'il reviendra à sa valeur initiale Zq, son argument se sera accru de 271 et, au lieu de la valeur initiale
A='^Logpo+/(cp;4-2A^7i),
on aura comme valeur finale
//,+!= Logpo-H i[?i + 2(A- + 1)7:].
Donc/o, .. .,//c considérées dans tout le plan (à l'exclusion du point critique ^ = o) ne sont pas des fonctions distinctes, mais des branches d'une même fonction, qu'on représente par logz.
Ces branches se permutent circulairement par une rotation autour du point ^ = o.
::^ — pi(coscpi-h isin'fi),
log.-i=: L0gpi+i>i.
Or 00, est le module, et '-^ ~\- '^, l'un des arguments de zZi. Donc le second membre de celte équation est l'un des logarithmes de zZi. Les autres ne diffèrent de celui-là que de multiples entiers de 27zi. On aura donc
Soient
/sinîp),
d'où
log^-
= Lo
gp + ^'r.
On en
déduit
log:: +
log^i —
Log
P + Log
(2) log:; -+- log^i = log-;;i+ 2/:t«,
l'entier k dépendant du logarithme choisi.
233. Exponentielle. — ■ INous désignerons par e^ la fonction inverse de logs, définie par l'équation
lo^it — z.
Soit z =z X -j- iy, z^ = p(coscp -j- /sin p). On aura, pour
23o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
déterminer p et cp, les équations
Logp — œ, 7 = ^.
La première équation donne p = e-^, e^ désig^nant la fonction de X inverse de Logx, et définie au n° 116. On aura, par suite,
(3) e^m « = e-^(cos/ -t- f sin y).
Cette fonction est synectique dans tout le plan. Elle prend toutes les valeurs possibles, zéro excepté. Quand x tend vers — GO, elle tend vers o. Quand x tend vers -f- oo, elle tend vers oo, mais de telle sorte que son argument y reste indéterminé. Enfin, si x restant iini y tend vers oo, elle ne tend nécessairement vers aucune limite déterminée.
Elle a d'ailleurs pour dérivée
(log^O'
donc
Soient
lY, Zi — Xi-^lfi]
on aura
(5) e^e^i =: e-^"^-^i[cos(/ +/i) 4 isin{y -i- y^)]=z e^~^^j. Remarquons enfin que l'on a
{ e^^rrrCOSTI -h/sinTT m — i,
( e^'^'^: COS2 7r H- « Sm2TC =z I,
Donc e^ ne change pas quand on accroît z d'un multiple | de 27zr, on énonce cette propriété en disant que la fonction est périodique et que sa période est 2 tu/. j
234. Puissances. — Nous définirons l'expression z^, z et m désignant deux nombres complexes quelconques, dont le
premier n'est pas nul, par l'équation
/tM — ofn logz^
Soient m = a + p?, s r= p(coscp + îsincp); il viendra
„m — g,(a+p/) [Logp-ft(9+2^7i)i
__ gaLogp-p(9+2A-7r) + i[pLogp+a(cp+2A,-7i)]^
Le module M et l'argument <E> de z^^ seront donc donnés par les formules
(8) ]VI — gaLogp-p(cp+2A-7l)^
(9) cï» r= pLogp 4- a(cp H- 2^7r) H- 2/c'tt.
Si p n'est pas nul, à chaque valeur de k correspondra une valeur différente de M, et z"^ aura une infinité de valeurs distinctes.
Si jîi = o, M n'a plus qu'une seule valeur; toutefois, si a est irrationnel, aux diverses valeurs de k correspondront autant de valeurs de <ï>, ne différant pas les unes des autres de multiples de 211, et fournissant par suite autant de valeurs distinctes pour z"^.
Si, au contraire, a est un nombre rationnel — ? deux va-
leurs de k qui diffèrent de multiples de q donneront la même
valeur pour z"^. Cette expression n'aura donc que q valeurs
distinctes, correspondant à A" = o, i, "-iq — i.
Dans ce cas, l'expression ^^^ = u sera racine de l'équation
algébrique
car, en élevant les deux membres de l'équation
a m ^"^ — e'i à la puissance ^, il viendra
Or, si p est positif, le second membre de celte équation est
2j2 première partie. — CHAPITRE U.
le produit de p facteurs égaux à e^"^^ ou à ^; si p est un nombre négatif—/?', ce sera le produit de /?' facteurs égaux
Lorsque m est réel et z positif, l'un des logarithmes de ^, Log^, est réel, et l'une des valeurs de z"', e'"^"^% est réelle.
