Supposons z variable; l'expression
sera une fonclion de fonction de z qu'il est aisé d'étudier.
Traçons, à partir de l'origine des coordonnées, une coupure rectiligne, faisant l'angle A avec l'axe des x. Dans tout le reste du plan, les diverses valeurs de log^ peuvent être réparties en branches synectiques : w, étant déterminé sans ambiguïté en fonction de log^, jouira de la même propriété. Si Ton adopte, pour cp, celui des arguments de z qui est > )., mais << 27:4-)^, ces diverses branches correspondront aux diverses valeurs que l'on peut donner à l'entier k dans la formule (10).
Il est aisé de voir comment ces diverses branches se permutent entre elles lorsque z décrit un contour fermé entourant le point critique o. Supposant ce contour suivi dans le sens direct, le module de z reviendra à sa valeur initiale ; mais son argument se sera accru de it.. On aura donc passé de la valeur initiale
à la valeur finale
237. La dérivée de z^'^ se trouvera en dérivant l'équation ([ui définit cette fonction. On trouve ainsi
Mais
donc
Cetle expression peut s'écrire
(i4) {z"^)'~mz'''-\
à la condition d'adopter, pour le calcul de z"^~^, la même valeur de log^ que pour celui de z^K
238. Cherchons enfin si z"^ tend vers une limite lorsque z tend vers zéro ou vers œ.
Posons
^ =z p(coscp -h i sincp), m=:a4-Pi, '|
le module M et l'argument ^ de z"^ seront donnés par les formules (8) et (9).
Si p n'est pas nul, il est clair que de quelque manière que p varie, on peut faire varier simultanément cp, de telle sorte que M prenne une suite de valeurs entièrement arbitraire; donc z^ ne tendra vers aucune limite déterminée.
Supposons, au contraire, que ^ soit nul, ou que cp soit astreint à rester compris entre deux nombres fixes. :
Soit d'abord a >> o. Si z (et, par suite, 0) tend vers zéro, Logp tendra vers — go, M (et, par suite, z"^) vers zéro. Si z tend vers co, Logp et M tendront vers -\- co; z^ tendra donc vers 00, mais sans que son argument <ï> tende nécessairement vers une limite.
Si a << O5 le contraire aura lieu. Lorsque z tendra vers o, z""- tendra vers 00, sans que son argument tende nécessairement vers une limite; mais, si z tend vers oc, z"^ tendra vers zéro.
Enfin, si a est nul ainsi que [3, on aura constamment
M — I, <î>=:2A-7r; d'où z^^—l.
239. Fonctions trigonométriques. — Si, dans l'équaùon (3), qui définit e^, nous posons a: = o, il viendra
(i5) e^y=z cosf -h isin y,
et, en changeant le signe de y^
(16) e~'^= cosy — isiny.
VARUBLES COMPLEXES. 235
On en déduit
(17) cos/=: ^ , siny = ~.
Ces formules, établies dans le cas oii y est réel, pourront servir de définition à cosjk et sin j^, lorsque cette variable est complexe.
Quant à tangjK et cot )', elles continuent à être définies par les formules
(18) tangv = ^—
"^ ces/ cet/
Ces fonctions n'ont qu'une seule valeur pour chaque valeur de la variable. Les deux premières seront sjnectiques dans tout le plan ; mais tangj^' et coty deviendront respectivement infinies pour les valeurs de j^ qui annulent cosjr ou sinj.
Toutes les formules de la Trigonométrie subsistent pour les valeurs complexes de la variable, car elles se déduisent des suivantes
sin(o)=:o, cos(o) = i,
sin - == I , ces - — - o,
sin( — a)T=. — sina, cos( — a)=:co^a,
sin ( rt -f- 6 ) = sin a ces Z> H- ces <2 sin 6,
cos(a -\- b) -=^ cos<2 ces b — sin a sin b,
dont on peut vérifier immédiatement l'exactitude en substituant aux lignes trigonométriques leurs expressions en exponentielles.
On vérifie de même les formules
I d'où
(sin5)'= cos^, (cosi;)'r= — sin
(tang5)'=: — , (cot^)' =
210. On a, d'après les formules d'addition, sin(.r + iy) ::rr sin^ cos^y H- COS. 2" s\niy
e-y -^ ey . ey—e-y
sin œ h i cosjT
cos(.^ 4- iy) 1- cos^ cos/>' — sin^ sin; j
e-r-f ey . . ey— e-y =:cos^ isin^ .
Ces expressions ne peuvent s'annuler que si leur partie
rouelle et leur partie imaginaire s'annulent séparément. D'ail-
I e~y-h ey . . ,., -,
leurs est toujours posilit et dînèrent de zéro; en
outre, sin^ et cos^z^ ne peuvent s'annuler à la fois; donc sin(^ 4- iy) ne s'annule que si l'on a
ey — e-y
sin.r = o, rz:0,
d'où
et cos(^ 4- iy) ne s'annulera que si l'on a
ey — e~y
cos.r = o, — = o,
d'où
^ , (^y I - (-> — y py ^ — y
Si y tend vers ^, — tendra vers + oo, et
vers -4-00 ou vers — ce, suivant quej^ sera positif ou négatif. Donc sin(^ -|- iy) et cos(^ + iy) tendront vers oo; mais leur argument dépend de x et ne tendra pas nécessairement vers une limite.
SijK restant fini, x tend vers oc, sin(^ + iy) et cos(^-I- iy) resteront, au contraire, finis, sans tendre nécessairement vers une limite.
241. Tout produit de sinus et cosinus peut être transformé en une somme de sinus et cosinus. Il suffit, pour cela,
de remplacer les sinus et cosinus par leur valeur en exponentielles, d'effectuer les multiplications et de revenir ensuite aux lignes trigonométriques.
Proposons-nous, par exemple, d'exprimer sin"^^ en fonction des sinus et des cosinus de z et de ses multiples (m étant supposé entier). On aura
(2 0'"sin"'^ =1: {e'-— e- '-)'"
» Associons ensemble les termes à égale distance des ex-
I ré mes; il viendra :
^ Si m est impaii",
{•2i)'" s'in^'z
sininz— m sin(m — 2) jh ^ sm(w — .\)z — ..
si 7)1 est pair,
(2/)'" sin'"^ =: 2 cosmz — 2 /)i ces {//i — 2) z
-\- 2 — ^ cos(m~.{)z—...
i .2. . .ni
On aura, de même,
2'" cos'»^ tr= {e'- -F e -'-)'" = e'"'- + me'-'"--^'- + . . . et, en associant les termes deux à deux,
2'" ces'" 3 nz 2 COS/;ï^ H- 2 //l C0S(/7i — 2) ^ + . . . .
Cette série se terminera, si fu est impair, par un terme en
i .2. . .m cos^; SI 7)1 est pair, j)ar un terme constant
; 242. On peut réciproquement exprimer cos/nz el s'inn) z
en fonction de sin^ et de cos^. On a, en effet,
cosm^ + is'mmzr=z e'"'~z= (e'-)'«=i (cos^ 4- ^ sin^)'",
d'où, en développant par la formule du binôme et ég^aiant séparément les parties réelles et les parties imaginaires,
CQgm-4^ Sjjj4 - j^
smm^ z=m cos'"-^^ sinz — ^ ^cos'"-^^ sin^^-t-,...
Remplaçant dans ces formules sin-^ par i — cos^j, ou réciproquement, on voit :
1° Que cosmz s'exprime par une fonction entière et de degré m en cos;: ;
2° Que sinmz est une fonction entière de degré m en sin^ si m est impair ; que, si m est pair, sinm^ sera égal au produit de cos^ par une fonction de degré m — i en sin^.
243. Soit ni un entier impair quelconque ; on aura, comme nous venons de le voir,
sinmz- =:f{sinz),
/'désignant une fonction entière de degré m. Il est aisé de mettre cette fonction sous forme d'un produit de facteurs. En effet, sinm^ s'annule pour les m valeurs suivantes de :;
m 2 ni
auxquelles correspondent autant de valeurs distinctes poui
sin^.
On aura donc
. . / sin-^ \ / sin^z \ smmz = A sinz / i \ • • • / i \j
sin- — / \ sm^
A désignant un facteur numérique.
Pour le déterminer, donnons kz une valeur infiniment petite. 'Le premier membre de l'équation précédente aura pour valeur principale mz et le second Az. Donc A = m.
Changeons ^ en — ; l'équation deviendra
. „7r5 Ttz l m \ { m
sinTT^ rm ?n sin
rn \ . „ ^ / \ . ^fn — i tt
înS
sin
244. Arc tangente. — La fonction u = arc tang^, inverse de la tangenle, sera détlnie par l'équation
ou
tangi^
iz
On en déduit
2iH
■in
o'iiii^
