I -^- iz

^'^^ ""^ Vi^''^T'^~z^ — .[log(i-s) — log(^'H-^)4-2/^Tri].

Pour chaque valeur de z^ les logarithmes ont chacun une infinité de valeurs, différant de multiples de 2tc?; u aura donc une infinité de valeurs différant entre elles de multiples de 7ï.

Les valeurs z :=zàz i font exception. Pour chacune d'elles, l'un des logarithmes devient infini, et il en est de même de u.

Par chacun de ces deux points critiques traçons une coupure. Dans le reste du plan, les diverses valeurs de chaque logarithme et, par suite, celles de u forment des branches sjnectiques.

Il reste à voir comment ces branches se permutent entre elles à la traversée des coupures. Pour cela, supposons que z décrive, dans le sens direct, un contour fermé entourant le

24o PHEMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 11.

point i en laissant le point — i -a son extérieur. L'argument de i — z^ en variant d'une manière continue, se sera accru de 27r; celui de i-\-z reprendra sa valeur initiale. Le premier logarithme se sera donc accru de ir^i^ sans que le second ait changé. La valeur initiale de u étant w^? sa valeur finale sera donc MoH-t:.

On voit de même que, si z tournait autour du point — /, u passerait de la valeur initiale «o à la valeur finale u^ — t:.

En dérivant l'équation (19), on voit, d'ailleurs, (pie la fonction u a pour dérivée

ii\ i — z i -\- z J ;- -h I 245. Ane siixus. — Considérons encore la fonction a — - arc sin^, inverse du sinus et définie par l'équation

sin u

d'où, en résolvant par rapport à e'",

e'''-=--.lz±.slT^^:^-, (20) ;/ -Il - Jog(/^ ±: y/i — ^-),

sj \ — z- désignant Tun des deux nombres réels ou cojnplexes dont le carré est 1 — z- .

Soit /«o l'un des logarithmes de iz 4- y' 1 — z- ; les autres auront pour forme générale iu^^ 'ik~i\ d'autre paît,

i-s + V I — ^' <^tant égal à 7z==i admettra, pour un

Iz 4- v/i — -'^

de ses logarithmes, /'t: — iuq^ et la forme générale de ses logarithmes sera i{ri — f^o) + 9^krû. Les diverses valeurs de u seront donc données par le système des deux formules

Ces valeurs sont toutes distinctes, à moins que Uq ne soit un multiple impair de -5 auquel cas la seconde formule donne les mêmes valeurs que la première. Si cela a lieu, on aura

■log(,-5 + ^,--)

■IZl

d'où

-^(l)A':^ztzi.

On a d'ailleurs, en dérivant l'équation (20),

a zz:l - —

^ iz-^\Jl—Z'^\ 2y/i-2 J y/i---J

dérivée finie et continue, sauf pour les valeurs critiques

246. Considérons la région du plan non extérieure à un contour fermé sans point multiple qui laisse à son extérieur les deux points critiques. Dans cette région, Uq^ admettant une dérivée constamment finie, varie d'une manière continue

et n'est jamais multiple impair de -- Le module de la différence entre Uq et celui de ces multiples qui en est le plus voisin restera supérieur à un nombre positif fixe. Les différences mutuelles des racines w, étant de l'une des deux formes 2A--, 2^^o+ (^k -[- 1)71, resteront aussi supérieures à un nombre fixe.

En raisonnant comme pour les fonctions algébriques, on en conclut que, si l'on trace, à partir des deux points critiques, des coupures quelconques, les valeurs de u pourront, dans tout le reste du plan, se répartir en branches synectiques.

247. Supposons, pour plus de simplicité, les coupures tracées de manière à ne pas rencontrer la portion de l'axe des œ située entre — i et +1. Chacune des branches de la

p42 première partie. — CHAPITRE II.

fonction u sera caractérisée par la valeur qu'elle prend pour 3 = 0, laquelle est un des nombres At;, k étant un entier. Désignons par Uf^ la branche qui correspond à la valeur kiz. Lorsque u varie de (/r — ^)7: à (A + |-)7:, son sinus z resbe continu et réel et varie de — 1 à -f- i ou de -f- 1 à — i, suivant que A est pair ou impair, en passant par la valeur o pour a = At:. Donc réciproquement, si z varie de — i à -f- 1, en

1 f/ (-on ^ f/ (-O^^l restant reeb ^/a variera de A \t. a A -] tt.

Donc, en chacun de ces deux points, les branches prendront

deux à deux des valeurs égales, de telle sorte qu'au point

— 1 on ait

au point + i ,

fhk— fhk-i~ '-- — -,

Les deux branches qui deviennent ainsi égales en un point critique se permutent entre elles si ^ décrit un contour fermé sans point multiple G entourant ce point. Supposons, en effet, ce qui est permis, que ce contour soit infiniment petit et soit décrit autour du point -j- i , par exemple. Tout le long de ce contour, chacune des branches de la fonction u conservera une valeur infiniment voisine de la valeur limite qu'elle atteint au point critique; car, i — z- étant infiniment petit, il en est de même de y/i — z-; donc iz± ^i — z'^ diffélera infiniment peu de sa valeur limite i; son module et son argument et, par suite, son logarithme, différeront infiniment peu de leurs valeurs limites.

Parmi les diverses branches de la fonction, il en existe

donc deux seulement dont les valeurs le long de G soient

infiniment voisines de -t: : ce sont les deux branches

1 1 1 I • • 2 A -h I u.2/( et U2k+\y dont la valeur limite est — tt.

Gela posé, soit Zq un point de C; la valeur de u^h^ par

exemple, au point -3o sera l'une des valeurs que l'expression

(21) yl0g(i^ + £\/l — ^-)

prend pour z = Zq, £ étant égal à ±: i .

Lorsque z décrira le contour C, cette expression restant

infiniment voisine de tz. sa valeur finale coïncidera

avec la valeur au point :;o de l'axe des deux fonctions ^/oa,

Mais le premier cas ne peut se présenter. En effet, pendant ce mouvement, l'argument de i + ^ change infiniment peu et reprend au retour sa valeur primitive; celui de i — z varie, au contraire, de stt; celui du produit i — i;- variera

donc de 2t: et le radical y/i — ^- = (i — :;-)" se reproduira,

— ITI l

multiplié par r?' = — i . Donc, lorsque z reviendra à la valeur Zq, la valeur finale de la fonction sera l'une des valeurs de l'expression

lesquelles sont toutes différentes des valeurs de l'expression

Uo^(lz^-i-z\/i — zl),

parmi lesquelles est comprise la valeur initiale. Donc, en décrivant le contour, on changera la valeur de u et l'on passera ainsi de la branche u^k à une autre branche, qui ne peut être que U2k+i'