I. — Formule de Taylor
î249. Soit f{x) une fonction réelle de la variable réelle x, (jiii reste continue, ainsi que ses n premières dérivées, dans un intervalle A.A'.
Désignant par a et a -^ Ji deux points de cet intervalle, posons
/«-Ma) + R,
Le reste K« sera une nouvelle fonction de Ji que nous allons déterminer.
En prenant les dérivées successives de (i) par rapport à h, ou voit : i" que la dérivée n^''^'' de R,^ est égale à /"(a + A); 9." que R/; et ses n — i premières dérivées s'annulent pour h = o.
Ces deux conditions suffisent à définir complètement R,/ ; car, si cp est une fonction qui y satisfasse, la différence R^^ — -j, ayant sa dérivée n^''^'' nulle, sera un polynôme entier d'ordre Il — I, mais ce polynôme et ses n ~ \ premières dérivées s'annulent pour h = o; il est donc identiquement nul.
Or on peut vérifier immédiatement que l'intégrale définie
satisfait aux conditions précédentes.
Pour le montrer, posons d'abord ^ =: a -j- ^ ; il viendra
Cherchons la dérivée de cette intégrale. On voit que h figure dans I à la fois comme limite et comme paramètre. Il faut donc appliquer la règle de dérivation des fonctions composées. Mais la fonction à intégrer s'annule pour t = h; donc la dérivée par rapport à la limite est nulle et il reste simplement le terme provenant de la dérivation par rapport au paramètre
dl
dh {n —
__J___y (h-l)"-'-f"(a + t)dt.
On trouvera de même
d^n dh
Toutes ces expressions s'annulent pour h = o. Enfin, une dernière dérivation donnera
Nous trouvons ainsi pour R„ l'expression suivante
Posons l = iili\ u variera de o à i, el l'on aura
(2) R,^== -^' / {i-uY-^f'^{a-^uh)du.
250. Soit/; un entier positif arbitraire non supérieur à n\ la fonction à intégrer sera le produit des deux facteurs
{i — uy-^ et {\ — u)"-Pf"{a-^ uh),
dont le premier est positif et le second continu dans le champ d'intégration. On aura donc, en appliquant le théorème de la moyenne,
R „ — h" ^-^^ '- — -T ' "" ' / ( I — «)/'- ' du ,
{\-~^Y-P f'^ia 4-6/0 — /) "-
8 désignant une quantité comprise entre o et i. D'ailleurs
Donc
et, en particulier, si nous prenons p = /?, (3) R„=JJ/"(a^-6/0.
251. La formule (i) est connue sous le nom de formule de Tajlor. L'expression (3) du reste, donnée par Lagrange, est parfois commode; elle a toutefois l'inconvénient de contenir un nombre inconnu B, dont on sait seulement qu'il est compris entre o et i. L'expression (2), qui ne contient rien d'indéterminé, est à cet égard préférable.
Si l'on suppose ji constant et h infiniment petit, les formules (2) et (3) montrent que B/^ est infiniment petil, d'ordre n au moins. On aura donc, pour l'infiniment petit
248 l'REx^IIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
/(« + A) — /(a), la valeur
approchée aux iafloiment pK's de l'ordre n.
Supposons, au contraire, h consLanl ou assujetti à rester entre certaines limites et n croissant indéfiniment. Si l'on peut démontrer que dans ces conditions R,^ tend vers zéro, on aura, à la limite,
J\a + h) = Jim \^fa + hfa^.. . + ~^'^~siyf''-'^
On diia, dans ce cas, que la série infinie
converge vers j\a 4- A), ou a cette quantité pour somme.
i2o!2. Posons, dans la formule de Tajlor, a = o, h=^x nous obtiendrons la formule de Maclaurin
(4) /(x)=/(o) + ,r/'(o) -+-...+ („:7yî/'^-'(o) + H/o
où R// peut être mis sous les formes suivantes
Cette formule suppose que la fonction f et ses dérivées jusqu'à l'ordre n soient continues dans un intervalle comprenant à son intérieur les points o et x.
2o3. On peut aisément étendre la formule de Tajlor aux fonctions de plusieurs variables.
Soit, en effet, f{x^y) une fonction des variables réelles x^ r, dont les dérivées partielles jusqu'à l'ordre n restent continues tant que x est compris entre A et A', et y entre B
et B'. Soient a^ a -\- h deux nombres compris entre A et A', b^ b -\- k deux nombres compris entre B et B'. Posons y,^:za-{- ht^ '^ =z b -\- kt. L'expression
/(a, ?) =/(^ + ht, b + kt) =. '^(0,
considérée comoie fonction de t, aura des dérivées
'■<'»-'4{-'î-("ê-'-»)/=("£-'s)/' •^■">=('.i-'/ï)rt'>=("£-'»)"/'
Ces dérivées seront continues tant que a -f- Jit sera compris entre A et A', et ^ + kt entre B et B', et a fortiori quand t variera de o à i .
iVppliquant à cette fonction la formule de Maclaurin et posant t=i i dans l'équation obtenue, nous aurons
l {/i — 1)! V àa (Jb
R/; pouvant être mis sous l'une des formes suivantes
(-dr;7T/('-")"-(/'^ + ^4)"/(« + /"', * + /.«)*',
nl\ âa db J -^ ^
^54. En posant /(«, b) =y, /{a -i- //, b + k) = y + Aj, cette formule prendra la forme plus simple
^y — dy+—^-\-...-\- — ^ 4- R,„
laquelle subsisterait évidemment pour un nombre quelconque de variables indépendantes.
Si h et k sont des infiniment petits de premier ordre, R^
2aO PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
sera un infiniment petit d'ordre n au moins, et pourra être supprimé de la formule, si l'on veut borner l'approximation à cet ordre de g-randeur.
2!5o. Les considérations précédentes s'étendent sans peine aux fonctions de variables complexes.
Soit/(^) une fonction de 5, sjnectique tant que cette variable reste dans l'intérieur d'un domaine E. Soit L une ligne rectifîable située dans l'intérieur de ce domaine et joignant les points a, a -(- A. On verra, par un raisonnement identique à celui du n" 249, qu'on a
/(« + /<) =/« + hfa + . . . + ^^':^, /"-' Ci + R„,
le reste R„ étant donné par l'intégrale
'—— f[a~\-li~zY''f'^{z)dz.
Si la droite qui joint les points a qI a -\- h est tout entière comprise dans l'intérieur de E, on pourra la prendre pour ligne d'intégration; sa longueur sera | A |. D'autre part, \a -\-h — ^1 variera de | A | à o. Si donc [j. est le maximum de \f'^{z) I sur cette ligne, on aura
Cette hypothèse se réalisera toujours si l'on admet qu'on puisse tracer du point a comme centre un cercle K contenant le point rt + A dans son intérieur, et tel que tous les points non extérieurs à ce cercle soient intérieurs à E.
256. On peut aisément établir que, dans ce cas, R,, tend vers zéro lorsque n tend vers oc.
En effet, y (^) étant continue dans l'intérieur de E, son module le long du cercle K ne pourra surpasser un certain maximum M'; soient p le rayon du cercle, ô la distance du point z au point a, laquelle varie de o à | A|, Sa distance
SÉRIES. 25l
au cercle K sera p — o, etf"{z) étant la dérivée {/i — i)'^'"*' de/'(^), on aura, d'après la formule du n° 205,
D'autre part,
Donc
?(Ifl)"-'(«-0'.M';
car le maximum de ' ^ ' ~ ^ correspond évidemment à 5 = o.
On aura donc, | /i \ étant la longueur de la ligne L,
et comme | A | <] p, cette expression tend vers zéro pour n -^=2 oo.
Nous pouvons donc énoncer ce théorème :
La série infinie
fa 4- hf'a H- ^ f" a + . . .
est convergente et a pour somme f{a H- li) tant que le point a + h restera intérieur à un cercle K ayant son centre en a et qui soit entièrement intérieur à E,
En posant, en particulier, a == o, A = 5, on aura la formule de Maclaurin, qui, pour n^=œ, donnera une série convergente dans les mêmes conditions.
2o7. Le théorème établi dans le numéro précédent peut être démontré par une autre voie, qui donne une nouvelle expression du reste.
Les points a el a -^ h étant contenus dans le cercle K, où la fonction /(;5) est synectique, on aura
2^lJ^ z-a -.r-i J^(z-a)"'
f(a+,)=^f f(^)dz 2TZI J^z — a~ h
=.^ f/iz)dz\-l-
{z-af ■
{z — a)"- ' {z — ay'{z — a — h)
fa-i-/if'a-^...-^~—-j/--^a + R,,
ou
h'\f{z)dz
^{z-a)-{z-a-li)
Soient p le rayon du cercle K, M le maximum de/(^) sur ce cercle; on aura
' "' < 271 V P / ? — \ll\
quantité qui tend vers zéro pour n^^^.
258. L'extension aux fonctions de plusieurs variables ne souffre aucune difficulté.
Soit, par exemple, une fonction /(^j il) de deux variables qui reste synectique tant que z ne sort pas d'un cercle K de rayon r ayant son centre en a, ni u d'un cercle Kj de rayon i\ ayant son centre en h. Soient a -\- h un point intérieur à K, b -\- k un point intérieur à Kj, enfin p une quantité > i
mais qui ne surpasse ni -— ni L expression
f{a-{- ht, b-\- kt)
sera une fonction de t^ synectique tant que t ne sortira pas d'un cercle de rayon p. On peut donc la développer, pour
t = ] , parla formule de Maclaurin. Le résultat sera identique à celui du n°2o3, et le reste R/^ tendra vers zéro pour n=^œ.
2o9. Appliquons la formule de Maclaurin à quelques fonctions simples.
La fonction e^ a toutes ses dérivées successives égales à e- . Pour ^ = 0, elles se réduisent à l'unité. On aura donc le développement,
qui sera toujours convergent, quel que soit z , car e^ est synectique dans tout le plan.
Posant z = I dans cette formule, nous trouverons la valeur (le la constante e
Changeant 3 en izj puis en — iz et combinant les formules obtenues, il viendra
( 7 ) ces 3 = '■ = I ^ \ ^—7 ^ . ^ ,, + . , . ,
(8) siD3=:
séries également convergentes dans tout le plan.
260. Considérons la fonction u --- (i -f- ^)"S et, pour préciser, dans le cas où /)i n'est pas un entier réel, celle des branches de celte fonction qui se réduit à i pour z = o. On aura
u" = ni{fn — i) . . . {m — /^ -h i) (i -h z)"''~", ....
Pour z =z o^ ces expressions se réduiront à I , m, m {m — i ) , . . . , 7)1 {m — i) . . . {m — n -h i), .... Substituant ces valeurs dans le développement de Maclau-
riii, on obtient la formule du binôme
m ini — I ) ,
La fonction (i -I- ^)'" n'ajant qu'un point critique, i; = — i, la série ci-dessus sera convergente tant que |s|<;i. Car, si cette condition est satisfaite, soit p une quantité comprise entre |^| et l'unité. La fonction sera sjnectique dans un cercle de rajon p ayant pour centre l'origine, et le point z lui est intérieur.
Au contraire, si | ^ | >• i, la série ne sera pas convergente. Il faudrait, en effet, pour c[u'elle le fût, que la somme 8,^ de ses n premiers termes tendit pour /z = oc vers une limite fixe et, par suite, que S//,, — S,^ tendît vers zéro. Or cette différence est le {n -{- i)"^°>*^ terme de la série. Ces termes devraient donc tendre vers zéro pour n = ce, ce qui n'a pas lieu, car leur module augmente au contraire avec n dès que n est suffisamment grand. En effet, le rapport du terme
général
au précédent est
et, quand ii tend vers co, le module de ce rapport tend vers 1^1, cjuantité >- i .
i261. Passons à la fonction ^^ = log(i -h ^). Ses dérivées successives sont
n'^riz (— i)«-l(/i i)! (i-4- -)-«.
Pour ^ = o, elles se réduisent respectivement à
On aura donc, en adoplant celle des branches du logarithme qui s'annule pour ^ = o,
(10) log(i4-^) = ^~ ^ + ...4--^ ^^^ -h....
Par les mêmes raisons que pour la formule du binôme, ce développement sera convergent si |^|<Ci, divergent si
En changeant ;: en — 3, nous trouvons
log(,-^)=-^-'^-...-|-...
et en retranchant
log — 2 ^ + .7 4- — + .
2 a -'r ci"
a et X étant deux nombres réels et positifs; il viendra
log =: log(a 4- X) — logrt
(^est sur cette formule et sur la suivante
log^ + logj:3zlogj-r,
(ju'est fondé le calcul des Tables de logarithmes. En posant a = i , ^ = i , on aura tout d'abord
Posant ensuite a = i25, :; = 3, il viendra
log 128 — logI25rzL2.' ^-
et, comme log 128 = log 2"=: 7 log 2, log i25 = 3 logo, celte équation donnera logo.
On trouvera de même log3 par l'équatioa
4 logS — 4 log?. — log5 = logSi — logSo = 2 ( — \r
puis log7 par l'équation
4 Iog7 — 5 log2 — log3 — 2 log5 =r log7^ — lo&(7'' — 0
et ainsi de suite pour les autres nombres premiers. Une simple addition donnera ensuite les logarithmes des nombres composés.
Les logarithmes ainsi calculés sont néj)ériens. Pour obtenir les logarithmes vulgaires, on devra les multiplier par le facteur
