Soit E un ensemble borné, formé des points p

Les écarts de ces points, pris deux à deux, forment un en-

semble de nombres positifs qui est borné. Il admet donc un maximum d qne nous appellerons le diamètre de l'ensemble E.

36. Nous allons chercher, d'autre part, à préciser la nolion de détendue de cet ensemble (à laquelle nous pourrons donner en particulier le nom de longueur^ à^aire ou de volume, lorsque le nombre des dimensions se réduit à i, 2, ou 3).

Considérons, pour fixer les idées, le cas de deux dimensions. Chaque point (?/, v) de E pourra être représenté ^géométriquement sur un plan dont u et r sont les coordonnées. Décomposons ce plan, par des ))arallèles aux a:xes coordonnés, en carrés de côté r.

L'ensemble de ceux de ces carrés qui sont intérieurs à E forme un domaine S intérieur à E; l'ensemble de ceux qui sont intérieurs à E ou qui rencontrent sa frontière forme un nouveau domaine S -f- S^ auquel E est intérieur. Ces domaines ont des aires déterminées que nous représenterons également par S et S -j- S'.

Faisons varier notre décomposition en carrés, de telle sorte que /• tende vers zéro; les aires S 6»^ S -h S' tendront vers des limites fixes.

En effet, considérons, par exemple, les aires S. Celles de ces aires pour lesquelles /' reste au-dessous d'un nombre fixe p sont bornées, car elles sont toutes contenues dans un même carré de côté M — m -1-30, M et m désignant le maximum et le minimum des coordonnées u, \^ dans l'ensemble E. Soit A leur maximum. On pourra trouver une décomposition déterminée pour laquelle S prenne une valeur S, plus grande que A — £. Soit 8 l'écart entre la frontière de E et celle du domaine S,. Considérons une autre

décomposition quelconque ou ;• soit << -• i^ écart maximum

de deux points d'un même carré y sera <^ 0. Donc tous ceux de ces carrés dont un point appartient à Si seront en entier

YAUIABLES RÉELLKS. 29

ans rinlérieiir de E. Donc le domaine S contiendra S,, et

on aura

S = Si>A — e;

l'autre part, S^A. Donc les sommes S auront bien une linite égale à A.

D'autre part, les aires S -+- S', n'étant pas négatives, sont )oruées inférieurement, et admettent un minimum a.

Il existera une décomposition déterminée pour laquelle 5 H- S' prendra une valeur Si + S'^ moindre que a-}-£. ■Soit 0 l'écart des frontières de E et du domaine S(-f-S', . Considérons une autre décomposition quelconque où /• soil

<; - • lous les carres dont un point appartient a Ji, ou a sa

frontière seront intérieurs à S| + S',. On aura donc

D'autre part, S + S'J^r;. Donc a est bien la limite des sommes S -f S'.

Comme on a S + S' ^ S, a sera au moins égal à A.

Nous appellerons A Vaiie intérieure de E, a son aire extérieure. Si S' a pour limite zéro, nous dirons que E est quarrahle et qu'il a pour aire la quantité a = A.

37. Soit E' un nouvel ensemble intérieur à E. L'aire extérieure de E', et a fortiori son aire intérieure, seront moindres que l'aire intérieure de E. Soit, en effet, 8 l'écart des frontières de E et de E'. Si l'on décompose le plan en

carrés de côté <; y? il est évident que tous les carrés non ex-

térieurs à E', et aussi les carrés adjacents, sont intérieurs à E. L'aire intérieure de E surpasse donc l'aire extérieure de E' d'une quantité au moins égale à la somme de ces derniers carrés.

38. Supposons enfin E formé par la réunion de plusieurs ensembles partiels E,, Eo, . . ., et considérons une décompo-

3o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

sillon quelconque du plan en carrés. Soient respectivement S, Sj, So, ... les sommes clés carrés intérieurs à E, E, , E2, ...; S', S^, S!,, ... celles des carrés qui rencontrent! leurs frontières. Tout carré intérieur à l'un des ensembles, E), E2, ... l'est à E; et, d'autre part^ tout carré non extérieur à E est nécessairement non extérieur à l'un au moins des ensembles E,, Eo^ . . ., on aura donc

et, en passant à la limite,

A^ Ai4- Ao-h. . ., « = «1 + «2-1-. . .,

A,, A2, ... et a,, rtoj • • -7 représentant les aires intérieures et extérieures de E,, Eo, .... Les inégalités ci-dessus se changent d'ailleurs en égalités, si E), Eo, ... sont quarrâbles.

39. On peut concevoir une infinité de décompositions du plan en régions élémentaires quarrables Ao-,, Ato, ... dont le diamètre ne surpasse pas un nombre donné p. Considérons une suite cjuelconque de décompositions de ce genre, dans laquelle 0 tende vers zéro. La somme S Ao-, étendue aux éléments intérieurs à E, aura pour limite A, aire intérieure de cet ensemble.

Nous pouvons, en effet^ déterminer une décomposition du plan en carrés, telle que la somme S des aires des carrés intérieurs à E soit >> A — e; soit 8 l'écart des frontières de E et de S. Dès que p sera devenu <^ ô, tout élément Ao- qui a un de ses points dans S sera tout entier intérieur à E. L'aire S At contiendra donc à ce moment l'aire S, et sera >>A — £. Mais, d'autre part, elle ne peut surpasser A. En effet, soit o' l'écart entre sa frontière et celle de E; concevons une autre

décomposition en carrés, de côté <C —• Tous ceux de ces

carrés qui ont un point commun avec l'aire S Ao- seront inlé-

VARIABLES RÉELLES. 3l

rieurs à E. La somme Si des aires des carrés intérieurs est donc au moins égale à S At; mais elle ne surpasse pas A.

Donc A. est bien la limite des sommes S At.

On voit, de la même manière, que la somme S Aa-, étendue, non seulement aux éléments intérieurs à E, mais aussi à ceux qui rencontrent sa frontière, a pour limite l'aire exté- I ieure a. Par suite, la somme ci-dessus, bornée à ces éléments frontières, tendra vers zéro, si E est quarrable.

40. Les considérations qui précèdent sont évidemment applicables aux ensembles d'un nombre quelconque de dimensions. On pourra déterminer, pour chacun d'eux, une étendue intérieure et une étendue extérieure. Si celles-ci coïncident, l'ensemble sera mesurable.

in. — Fonctions bornées. Fonctions intégrables.

41. Des quantités variables, ^, y, . . ., sont dites indépendantes, s'il n'existe entre elles aucun lien, de telle sorte que chacune d'elles puisse encore prendre toutes les valeurs dont elle est susceptible, après qu'on a fixé la valeur des autres.

Soit, au contraire, u une nouvelle variable, liée aux précédentes de telle sorte qu'à chaque point (^, y ^ . . .) appartenant à un certain ensemble E, corresponde une valeur déterminée de u. On dira que cette relation définit u comme fonction de œ, y, ... dans l'ensemble E.

Une fonction de x, y, ... peut se représenter par la notation y (^, y, . . .). Si l'on considère simultanément plusieurs fonctions différentes, on pourra les désigner respectivement par F(^, y, . . .), 'f (^, J", *-•)■, • • . en changeant la lettre initiale.

La définition qui précède est d'une telle généralité qu'il est évidemment impossible d'établir aucune propriété applicable à toutes les fonctions sans exception. Des hypothèses

restrictives sont, en effet, nécessaires pour servir de base à un raisonnement quelconque.

42. FoNCTiOT<s BORNÉES. — Une fonction /(^,y, . . .) est dite bornée^ dans un ensemble E pour lequel elle est définie, si les valeurs qu'elle prend pour les divers points (x, j>', . . .) de cet ensemble forment un ensemble borné.

La somme, la différence et le produit de deux fonctions bornées f et cp sont des fonctions bornées; car on a

Si f est une fonction bornée et si le minimum |ji de son module n^ est pas nul, - sera également bornée; car on a

43. Soit /(.r, j)', ...) une fonction bornée dans un domaine E, dont l'étendue, que nous supposerons mesurable, sera également représentée par E.

Décomposons E en domaines élémentaires mesiirabJes ^,, ^2? • • •• Désignons par M, m le maximum et le minimum de la fonction /dans E; par My^, m^ son maximum et son minimum dans Ck] et formons les sommes

S--=\ M/,e/,, s — \rn,,ek.

Comme on a évidemment

S et s seront comprises entre

VARIABLES UtiELLES. 33

B ei

\ mei^ -=■ m \ Gj. — - m E,

el leurs modules seront au plus égaux à LE, L désignanl le plus grand des deux modules | M | et \in\ [ou le maximum du module de/(^, r, . . .) dans le domaine E].

44. Théorème de M. D.itiboux. — Si nous faisons varier la décomposition en éléments, de telle sorte que les diamètres de ces éléments tendent vers zéro, les sommes S et s tendront vers des limites fixes.

En effet, considérons, par exemple, les diverses sommes S. Leurs valeurs forment, comme nous venons de le voir, un ensemble borné, lequel admet un minimum T. Et l'on peut, (piel que soit s, déterminer une décomposition A', telle que

la somme correspondante S' soit comprise entre T et T H •

Soient <?|, .. .^e,i les éléments de cette décomposition, /? leur nombre; on aura

Soit A une autre décomposition quelconque. INous j distinguerons plusieurs sortes d'éléments, i" Ceux qui sont intérieurs à Tun des éléments e<. . . ., (?,;, par exemple à <?/, ; nous les désignerons par e^,, . .., ej^;, .... 2" Ceux qui empiètent sur plusieurs des éléments <?,, ...,<?//; nous les désignerons par e\r . . ., ej, . . .. Nous représenterons enfin par M^/, M/ les maxima de / dans les éléments Ca/, e'^. On aura évidemment

E 3= \ e,,i -V- > e,r=i\ eu

et enfin, si S désigne la somme correspondante à la décon^.-

J. — Cours. I. 3

position considérée,

= T -^ ^ + (M - m)^ fe,, - V ^/,/ k \

Enfin, T étant le minimum des sommes S, on aura

De ces deux égalités résulte immédiatement la preuve que, si le diamètre des éléments tend vers zéro, S tend vers T. En effet, les domaines ^j, ..., e,i étant mesurables, la différence entre <?a et la somme \ Ckt des nouveaux éléments

(jui lui sont intérieurs tendra vers zéro avec le diamètre de ces éléments. On pourra donc, après avoir choisi £ aussi petit qn'on voudra, ce qui fixera le nombre /i, assigner un nombre o, tel que si tous les éléments ont un diamètre <; o

chacune des n sommes <?a — > Chi devienne moindre que

— ^ Dès lors, S sera compris entre T et T + £.

'2 II ( M — m) ^

Ce nombre T se nomme V intégrale par excès de la fonc-

lion f{x^ j', . . .) dans le cliampYj.

45. On voit exactement de la même manière que les sommes s admettent un maximum t et que, si l'on fait varier la décomposition de telle sorte que le diamètre maximum

des éléments tende vers zéro, la somme tendra vers t. Ce nombre sera Vintégrale par défaut de la fonction / dans le domaine E.

46. Remarques. — i^ Si E est formé par la réunion de plusieurs domaines mesurables E<, E2, ..., on pourra décomposer ceux-ci en éléments infiniment petits ^4, ^2, . .., et

former pour chacun d'eux la somme \ M/fC/f. La somme correspondante pour le domaine E s'obtiendra par l'addition de ces sommes partielles. Passant à la limite, on voit que l'intégrale par excès de la fonction/*, pour le domaine E, est égale à la somme des intégrales analogues pour E^, E^, .... De même pour Tintégrale par défaut.

2° Nous savons qu'on peut déterminer une suite de domaines mesurables E,, . . ., E/^, . . ., dont chacun soit intérieur au suivant et à E, et tels que leurs étendues aient pour limite E. L'intégrale (soit par excès, soit par défaut) dans le domaine E sera la limite vers laquelle tend, pour n = c/d, l'mtégrale dans le domaine E/^. En effet, la différence des deux intégrales est égale à l'intégrale prise dans le domaine E — E/i, et son module sera au plus égal à L(E — E,^), quantité qui tend vers zéro quand n tend vers ce.

3° Nous avons admis, dans tout ce qui précède, que le domaine E a une étendue mesurable. Une nouvelle définition nous permettra de supprimer cette restriction. On peut, en effet, toujours considérer E comme la limite d'une suite de domaines mesurables E, , ..., E/^ , ..., dont les étendues convergent vers une limite qui, par définition, n'est autre que l'étendue intérieure de E. L'intégrale (par excès ou par défaut) dans E/^ tendra, pour /z = co, vers une limite déterminée. En effet, la différence entre les intégrales dans E/^ et E^ {m^ n) aura son module au plus égal à

L(E,,-EJ = L(E-EJ, I quantité qui tend vers zéro quand n croit indéfiniment. Nous

considérerons cette limite de l'intégrale dans E,i comme représentant la valeur de l'intégrale dans E.

47. Nous appellerons oscillation de la fonction / dans l'élément e^ la différence Oa = M/f — iiifi entre son maximum et son minimum. Cette différence ne pouvant être négative, la différence

T— /=:lim

\ M/,. g/,. — lim \ 77i/,e/( = lim \ O/. e/.

entre les deux intégrales par excès et par défaut ne pourra

être négative. Cherchons à quelles conditions elle sera nulle.

Remarquons, à cet effet, que T étant le minimum des

sommes \ Ma^a- et t le maximum des sommes \ inj^ej^^

T — t sera le minimum des sommes \ Oa<:?a-

Cela posé, soit s un nombre positif choisi à volonté et considérons une décomposition quelconque de E en éléments t\^ . . . , e/f, .... Soient ei^ . . . ceux de ces éléments dans lesquels l'oscillation O^ surpasse s; ei, ... les autres éléments où Foscillation 0/^s. On aura

yo/,eA-r= yo,6^,-i-yo/e/>£y^,-.

Mais, d'autre part, 0/= M/ — mi ne peut surpasser M — m et 0/<£; donc

Si donc il est possible de déterminer £ d^ telle sorte que pour aucune décomposition \ ei ne s'abaisse au-dessous

d'un nombre positif fixe X, la somme \ 0,.(?a sera toujoui's siq)érieure à s).; el son minimum T — t ne pourra êlre

moindre que si. Au contraire, si, quel que soit s, on peut

trouver une décomposition où > ei soit moindre aue tout

nombre positif donné, on pourra, en prenant £ assez petit, puis choisissant une décomposition convenable, faire décroître autant qu'on voudra les deux termes du second

inembre de (2) et rendre ainsi \ O/^eh moindre que tout

nombre positif donné. On aura donc

48. Fonctions intégrables. — Une fonction f(:r, y, . . .) est dite intégrable dans le domaine E, si ses deux intégrales par excès et par défaut

Il m

\ M/, e,,, t — lim \ m,, ej, ,

prises dans ce domaine, coïncident, ainsi qu'il vient d'être expliqué. Soit, dans ce cas, {xk^yki • • •) un point choisi arbitrairement dans l'élément e^; on aura évidemment

d'où

2J'^i^^'^>2^fi^rc,yfc^ •")ek>2j

nikCf,.

La somme y /{ocj^j yj^^ . ..)ek tendra donc encore vers la

même limite que les deux sommes précédentes. Cette limite se nomme V intégrale de la fonction /dans le domaine E. On la représente généralement par la notation

I = j^^/(^, j, ...)de',

V est un signe de sommation, qui signifie limite de somme;

de représente l'un des éléments infiniment petits ci-dessus désignés par e,, ..., ek, ••.; il est sous-entendu que dans

chaque terme de la somme on doit substituer dans / aux variables x, y, . . . leurs valeurs en un point de l'élément de que l'on considère; enfin la lettre E, mise en indice, dénote le champ de l'intégration; on peut d'ailleurs la supprimer lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté à craindre.

49. Il est clair que la valeur de l'intégrale I ne dépend pas des variables de sommation x, y, . . . , mais seulement de la nature du champ et de celle de la fonction y*. Elle sera d'ailleurs comprise, d'après ce que nous avons vu, entre ME et mJL, et son module ne pourra surpasser LE.

Ces derniers résultats sont susceptibles d'être un peu généralisés. Supposons que y soit le produit de deux fonctions zi, 6 dont la première soit intégrable et reste positive dans le champ E. Soient M', m' le maximum et le minimum de ^ dans ce domaine; on aura

et, en passant à la limite,

M'^cp(j?, j, ...)de~ ^o{x,y, ...)^{œ, y, . . .)de

^m' X^(^, r, . . .)de, et, par suite,

j^cp(^,j, . ..)tL(^, j, ...)de = \x\^o{x, y, . . .)de,

{i. étant une quantité comprise entre M' et m'.

Cette proposition porte le nom de théorème de la moyenne.

50. Si le champ E est formé par la réunion de plusieurs domaines mesurables E<, Eo, ..., l'intégrale E sera évidem-

VARIABLES RÉELLES. Sq

ment égale à la somme des intégrales relatives à ces champs partiels.

Si E n'est pas mesurable, nous le considérerons, ainsi qu'au n" 46, comme limite d'une suite de domaines mesurables El, ..., E«, .... La limite des valeurs des intégrales prises dans ces domaines sera, par définition, la valeur de l'intégrale dans E.

51. Soient/',/'', ... des fonctions intégrables dans un domaine E; F, I", ... leurs intégrales^ c', c", ... des constantes.

La fonction

sera intégrable et aura pour intégrale l-=^c'l'^c"\"-\-....

Il suffît, pour le voir, de passer à la limite dans l'identilé

52. Le produit f'f" de deux fonctions intégrables est intégrable. En efifet, soient M', m' et M'', m" les maxima et minima de f clf" dans E; M/., m^., et M^., ml leurs maxima et minima dans e^; O' , 0% OJ^,, 01 leurs oscillations dans les mêmes domaines.

Supposons d'abord que ni' el m" soient positifs; ni[., ni,.^ M^, M2 l'étant a fortiori, on aura, dans tout l'élément e^,

L'oscillation Or du produit/'/" dans cet élément est donc au plus égale à

M;M^ — m'j,nil rrz m; (x\II. - ml) + ml (M^ - ml) lW0l-\-W'0l,

4o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

et, par siiile,

lîm \ O/,.^/,. 7 iM'lim \ O^. e/.-^WWm \ O^f?/,. = o.

Supposons, au contraire, que m\ m'^ puissent être négatifs. Soit c une constante positive, plus grande que | m' \ et | m" |. Les fonctions y (.^, j-, ...) -H c el f (x^ y, . . .) -^ c seront intégrables et auront pour minima les quantités positives m' -h c, m" -^ c. Leur produit sera donc intégrable. D'ailleurs cf'{x^y^ ...), cf\x,y^ ...)le sont également, ainsi que la constante c- dont Toscillation est toujours nulle. Donc, le produit

/'/" ^~ (/' + c ) (/" + c) - cf - c/" - c'

sera aussi intégrable.