II. — Procédés pour effectuer les développements en séries
264-. Soient X un infiniment petit, y =y(x) une quantité qui en dépend. Proposons-nous d'en déterminer une valeur approchée, de la forme
A.2?a-4-B^PH-. .. -t-M^l^
et qui ne diffère de la véritable que d'un infiniment petit d'ordre n au moins.
Si f'^{x) est continue aux environs de x = o, la formule de Maclaurin résoudra la question. Elle donne, en effet,
R„ étant d'ordre^ n et, par suite, négligeable. Mais cette méthode exige le calcul des dérivées successives de /(^), qui peut être fort pénible. Elle est d'ailleurs inapplicable sif"{x) n'est pas continue aux environs de ^ = o. 11 convient donc d'indiquer d'autres procédés.
265. Si y = u -{- i^ -{- . . , y la valeur approchée de y sera évidemment la somme des valeurs approchées des fonctions partielles u, v, . . . .
Si l'on veut se borner à calculer la valeur principale de y, on ne conservera, parmi les fonctions u, (^, ..., que celles dont l'ordre est le moins élevé; on calculera leurs valeurs principales et on les ajoutera ensemble.
Si toutefois ces valeurs principales avaient une somme nulle, ce serait une preuve que l'approximation est insuffisante; il faudrait donc recommencer le calcul en prenant un terme de plus dans le développement de chacune des quan- | tités Uy t^, . . . .
Soit, par exemple,
J^=z: 2 siii^ — sin2^ -h x^.
SÉRIES. 2DÇ)
Les quantités 2sin.3; et — sin2.r sont du premier ordre ; mais la somme de leurs valeurs principales est nulle. Poussant donc l'approximation plus loin, on posera
2 Sin X =z 2 0^ K
266. Si jK = ^^i^, il et V étant respectivement d'ordre a et jîi, on aura sa valeur approchée en multipliant ensemble les valeurs approchées des quantités u et v et négligeant dans ce produit les termes d'ordre ^n. Il suffira évidemment de pousser l'approximation de w jusqu'aux termes d'ordre n — p, celle de v jusqu'aux termes d'ordre n — a.
Le premier terme de l'expression de j^, qui constitue sa valeur principale, est évidemment le produit des valeurs principales de u et de v.
