Si r= — j soient
des valeurs approchées de u et de t', et soient
On aura
V et Çi étant d'ordre ^, et Ui d'ordre a, cette expression sera d'ordre ^n si l'ordre de R est ^A^-f- ,3, et si celui de S est
On aura alors, dans les limites d'approximation demandées,
u Ux
Cela posé, oq effectuera la division de Ui par r, jusqu'au moment où Ton introduirait au quotient des termes de degré
Soient q =z Cxy -i- C xy'-\- . . . le quotient de la division, T le reste; on aura
l^e premier terme du quotient — étant, par hypothèse,
d'ordre y/i, - S3ra d'ordre ^^/? et pourra être négligé.
On aura donc
avec l'approximation demandée.
Le premier terme de ce développement C^T, qui est la valeur principale de j', sera évidemment le quotient des termes Aœ^, B^P, valeurs principales de u et de i^.
Si j3 ^ a, les premiers termes de la suite y, y', ... seront négatifs. Dans ce cas, la formule de Maclaurin n'aurait pas été applicable à la fonction jk, car cette fonction, devenant infinie pour x := o^ serait discontinue, et ses dérivées également.
268. Au lieu d'efifectuer la division de ;/, par ^',, on aurait pu, ce qui est au fond la môme chose, poser
G, G', .. ., y, y', ... étant des coefficients indéterminés. Cela posé, l'équation y =^ - pourrait s'écrire
ou
(G^T+G'^r-^...)(BJ^P+B^rP'-^.. .) = A^^4- A'^« -^-. . .,
OU, en développant les calculs dans le premier membre,
En exprimant l'identité des termes du second membre de cette équation avec les termes correspondants du premier membre, on obtiendra une série d'équations de condition qui détermineront C, y, . . . .
Ainsi, par exemple, les premiers termes
BCrP^T et A.r^' devant être identiques, on aura
BC = A, d'où
!269. Gomme application de cette méthode, proposonsnous de calculer les premiers termes du développement en série de Fexpression
Cette fonction ne changeant pas quand x change de signe, le développement ne contiendra que des puissances paires. Posons donc
- -; = A + Bi B, 5-y + B,
il viendra, en chassant les dénominateurs et remplaçant e-' par son développement,
Egalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres, on trouvera
..(/i-hi) Bi
équations qui détermineront successivement A, Bi, Bo, .. .. On aura même deux équations pour calculer chacune des quantités B. On trouve ainsi
270. Les nombres Bi , B2, . . . portent le nom de nombres de Bernoulli. Ils se rencontrent dans une foule de questions d'Analyse. Ils ont, en particulier, une liaison intime avec les sommes de puissances des nombres entiers.
Pour établir cette relation, posons
On aura
y(°') = i°'e^4- 2^e2a'4__ ^ ( ,^ ,)ag(«-i)a;
et pour X ■=^ o
(/^''Oo = I "^ H- 2^ 4- . . . + ( /i ~ i)^. Mais on a d'ailleurs
QllX j qUX j j.
nx -[- - — T . 2
Ao-i- Ai^ + . . .-^ ka,X^
x Bi^^ B^^* \ I
en posant
°' i.2...(a-hi) 2 1.2. ..a 1.2 1.2. ..(a — i) On aura donc
ia^ 2^ + . . .+ (/i — i)^'^ (jW)^— I .2. . .aAa
=:Z^i,ia^5la„a-i ^1^ a (a- i) (a-2)Al^-^ + . ..
