I . i + Xia-h... + X,,a

OÙ X/i désigne un polynôme en x dont nous allons déterminer la forme.

Le terme

I 3 9 m — I yJ"{9.œ -y.)'"-

ne fournira évidemment de terme en a'' que si m este -,

mais ^n. S'il est compris entre ces limites, il donnera le terme

2 '".1.2. . .m 1.2. . ,(/i — m). 1.2... {2 m — n) 1 . 3 . . . ( 2 m — I V2'"-" ( — 0"-"^ d" x'-"' ^^ 1 . 2 . . . ( /i — m) .V .2. . .2 111 clx'^

Mais on a

(2jr)2'"-«(— 1)«-

Le terme précédent pourra donc s'écrire

2'\ i . 2 . . .11 dx'^ L 1 . 2 . . . m . I . 2 . . . ( /i — m) J

et l'on aura, par suite, en ajoutant tous les termes en a",

" 2'^ .1 .2. . .11 dx'^ ^\j i.2...tn.i.2...{n — m) J

P On peut d'ailleurs sans inconvénient étendre la sommation aux valeurs de m qui sont moindres que — > les termes ainsi ajoutés ayant une dérivée /^^'"'^ nulle. La somme entre paren-

^xy' 0? -

ïïhivsksity:

thèses deviendra égale à (x'—i)". On aura donc, comme résultat final,

2'^ I .2. . ./i dj^'

Les expressions X,^ sont connues sous le nom de polynômes de Legendre. Elles jouissent de propriétés remarquables, et nous aurons plusieurs fois l'occasion de les retrouver.

fin

274. L'expression j^ = --—^^ (^2 — ^y satisfaisant, comme nous l'avons vu (165), à l'équation différentielle

( ^- — I ) /" 4- 2 xf — /i ( /Z -1- I ) y = O,

et X^ n en différant que par un facteur constant, on aura évidemment

(cT^— i)x;i-i- 2^x;,— n{ii-\- i)x,i=o.

275. Trois polynômes successifs X„,, X,;, X/^^, sont liés par une relation linéaire que nous allons établir.

Prenons la dérivée par rapport à a de l'équation

il viendra

(^--a)(i— 2a^-1- a2) 2 x^ -| . . . -|- /iX„a«-^4-

Multipliant par i — 2a^ + a- et remplaçant ensuite

par sa valeur, nous trouverons

(^-a)(i + Xia4-...4-X„a" + ...)

= (i — 2a^ + a2) (Xi 4- . . . -h /iX^a'^-i -f- . . . ), d'où, en égalant les coefficients de a",

.3:X;,— X„i— (/i -i- i)X„+.i— 2/iJ7X„4- (ai — i)X„i, ou enfin

(/H-l)X„+l— (2/14- l) xX„-H /lX„i=: O.

SÉKIES. 267

276. D'après les définitions que nous avons données, une quantité j, dépendant d'un infiniment petit (ou infiniment

grand) ^, est d'ordre a si le rapport J^ tend vers une limite

finie et différente de zéro lorsque x tend vers o (ou vers go). Mais ce serait une erreur de croire que l'ordre d'infinitude d'une fonction quelconque de x soit toujours susceptible d'une semblable évaluation numérique, ainsi que cela avait lieu dans les exemples précédents.

Considérons, par exemple, la fonction j = e-^. On a,

comme nous l'avons vu,

Q,. . .m et, par suite, si ^ >> o,

étant un entier quelconque. On aura donc

^■* 1 .2 . . ./n Prenons m'^ ^ et faisons tendre x vers 00. On aura

lim -^— T:lim

On voit donc que, si x tend vers -|- co, e^ tendra également vers + 00, et cela, plus ixcpidement qu'une puissance quelconque de X.