L'équation

donne, en supposant x réel et prenant les logarithmes arithmétiques,

œ — Log/.

Donc, si Logj^ tend vers -{- co, il en sera de même de jk, qui croîtra plus rapidement qu'une puissance quelconque de Logy .

Donc, réciproquement, si y tend vers + ce, Logj' tendra vers H- 00, mais moins rapidement qu'une puissance quelconque de j'.

Posons

d'où

Log7 = — Log^.

Si )' tend vers + ce, :; tendra vers o etLog g tendra vers — oo, mais moins rapidement qu'une puissance quelconque d(

le -

pris 3 avec le signe — .

Donc, pour ^infiniment petit (ou infiniment grand), Log j; sera un infiniment grand négatif (ou positif), mais dont l'orJre est inférieur à toute limite. Il ne saurait donc être question de lui assigner une valeur principale de la forme A^^. C'est un infini d'une espèce particulière et irréductible à ceux que nous avons considérés jusqu'ici.

278. Soit maintenant a = Ax^-{- B^P-f-. . . + R. une fonction quelconque développable suivant les puissances de œ. Proposons-nous de développer log«.

On aura évidemment

log// rrz y. log.r -\- log \ -}- log I H . — 1 •

Le dernier terme de cette expression sera développable au moyen de la formule qui donne log(i + ^). Mais le terme alog.r par lequel commence le développement de iogu sera iiréductible avec ceux qui le suivent.

279. Les divers développements que nous avons obtenus, étant limités à un certain nombre de termes, donneront toujours une valeur approchée de la fonction qu'on développe lorsque x sera suffisamment petit (ou suffisamment grand si les puissances de x vont en décroissant).

En les prolongeant indéfiniment, on obtiendra des séries

infiaies. Si ces séries sont divergentes, elles n'ont aucun sens. Mais Cauchy a signalé ce fait remarquable que, même en étant convergentes, elles peuvent ne pas être égales à la fonction qui leur donne naissance.

Considérons, à cet effet, la fonction /(.r) := e •^'. Ses déri-

vées successives sont une somme de termes de la forme -— e ■"'

Cela se voit immédiatement sur la dérivée première, et l'on vérifie non moins facilement que la dérivée d'un semblable terme se compose de deux termes de cette forme.

Ces dérivées s'annulent toutes [)Our ^ ==z o, car, en posant

= ; on aura œ

quantité donl la limite est nulle pour x --=■ o, d'où z=^-zo. La série de Maclaurin

/(o) + .r/io)-i-...,

prolongée indéfiniment, sera donc convergente, tous ses termes étant nuls. Mais elle est égale à zéro et non k f{x). 11 est donc nécessaire, pour reconnaître si une fonction est développable en série infinie par la formule de Maclaurin, d'étudier le resîe R,, et de s'assurer qu'il tend vers zéro quand n augmente indéfiniment. C'est ainsi que nous avons procédé pour développer (i + x)'"-^ ^og(ï + •^)7 • • • •

280. Soit/(x) une fonction qui devienne indéterminée pour une valeur particulière a de la variable. On nomme vraie valeur de cette fonction pour ^ = <2 la limite vers laquelle tend f{a~\-h) lorsque h tend vers zéro. Cette vraie valeur peut être finie, infinie ou indéterminée. Si elle est déterminée, elle se trouvera en cliercliant la valeur principale du développement de /{a -[- Ji) suivant les puissances croissantes de A.

Soit, par exemple, f{x) = j- — -^ cp et ^J; s'annulant pour

x=^a, mais étant développables par la série de Tajlor; on aura

Soient respectivement '^P{ct) et 'i;^(a) les premiers termes -

qui ne s'annulent pas dans les deux suites

cp(a), o'{a), ... et ^{a), y(«), .... La vraie valeur sera la limite de

T-.1! Il • . ^ . . , . , of^(a) . ,

Elle sera nulle si p >> c/. intime si p < q, e^ale a ' — ; — -• si

p=:rj.

281. Si f{x) devenait indéterminée pour ^==00, on développerait /(^) suivant les puissances décroissantes de œ; et la vraie valeur serait nulle, finie ou infinie, suivant que l'ordre du premier terme du développement serait négatif, nul ou positif.